\int_{0}^{2}\left(\sqrt{x+2}-\frac{1}{x+1}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\left(\sqrt{x+2}-\frac{1}{x+1}\right)\,dx.
  • Informações úteis dadas pelo enunciado:
    • O integrando é \sqrt{x+2}-\dfrac{1}{x+1}.
    • O intervalo de integração é de x=0 até x=2.
    • Observação: para x\in[0,2] tem-se x+1>0, então \dfrac{1}{x+1} é contínua e a integral existe.
O objetivo é calcular o valor numérico exato dessa integral definida.

Passo 2

Dividir a integral em duas usando linearidade (propriedade da integral):
A integral da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das integrais. Assim,
\int_{0}^{2}\left(\sqrt{x+2}-\frac{1}{x+1}\right)\,dx = \int_{0}^{2}\sqrt{x+2}\,dx - \int_{0}^{2}\frac{1}{x+1}\,dx.
Vamos calcular cada parcela separadamente. É uma estratégia comum: quebrar um problema em partes menores.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{0}^{2}\sqrt{x+2}\,dx.
Primeiro reescrever \sqrt{x+2} como potência:
\sqrt{x+2}=(x+2)^{1/2}.
Fazemos a substituição u=x+2. Isso simplifica porque a expressão dentro da raiz fica apenas u.
  • Quando x=0, u=0+2=2.
  • Quando x=2, u=2+2=4.
  • E du=dx (já que u'=1).
Portanto a integral transforma-se em
\int_{0}^{2}(x+2)^{1/2}\,dx=\int_{2}^{4}u^{1/2}\,du.
Agora aplicamos a regra da potência para primitiva: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Avaliaremos entre os limites 2 e 4:
\int_{2}^{4}u^{1/2}\,du=\left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_{2}^{4} =\frac{2}{3}\bigl(4^{3/2}-2^{3/2}\bigr).
Calculemos as potências:
4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8, \qquad 2^{3/2}=(\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}.
Assim
\int_{0}^{2}\sqrt{x+2}\,dx=\frac{2}{3}\bigl(8-2\sqrt{2}\bigr) =\frac{16}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{0}^{2}\frac{1}{x+1}\,dx.
Conhecimento básico: a primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln|x|. Por consequência, para deslocamento na variável, a primitiva de \dfrac{1}{x+1} é \ln|x+1|, pois
\frac{d}{dx}\ln|x+1|=\frac{1}{x+1}.
Portanto
\int_{0}^{2}\frac{1}{x+1}\,dx=\left.\ln|x+1|\right|_{0}^{2}=\ln(2+1)-\ln(0+1)=\ln 3-\ln 1.
Como \ln 1=0, obtemos
\int_{0}^{2}\frac{1}{x+1}\,dx=\ln 3.

Passo 5

Juntar os resultados e simplificar:
A integral original é a diferença das duas parcelas que calculamos:
\int_{0}^{2}\left(\sqrt{x+2}-\frac{1}{x+1}\right)\,dx = \left(\frac{16}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}\right)-\ln 3.
Podemos deixar nessa forma ou fatorar \dfrac{4}{3} se preferir:
\frac{16}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}-\ln 3 = \frac{4}{3}\bigl(4-\sqrt{2}\bigr)-\ln 3.
Ambas são equivalentes; a primeira é bem direta.

Resposta

\dfrac{16}{3}-\dfrac{4}{3}\sqrt{2}-\ln 3

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