Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Calcular a integral definida
- Informações úteis dadas pelo enunciado:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até . - Observação: para
tem-se , então é contínua e a integral existe.
- O integrando é
O objetivo é calcular o valor numérico exato dessa integral definida.
Passo 2
Dividir a integral em duas usando linearidade (propriedade da integral):
A integral da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das integrais. Assim,
Vamos calcular cada parcela separadamente. É uma estratégia comum: quebrar um problema em partes menores.
Passo 3
Calcular
.
Primeiro reescrever
como potência:
Fazemos a substituição
. Isso simplifica porque a expressão dentro da raiz fica apenas
.
- Quando
, . - Quando
, . - E
(já que ).
Portanto a integral transforma-se em
Agora aplicamos a regra da potência para primitiva: para
,
Aqui
, então
Avaliaremos entre os limites
e
:
Calculemos as potências:
Assim
Passo 4
Calcular
.
Conhecimento básico: a primitiva de
é
. Por consequência, para deslocamento na variável, a primitiva de
é
, pois
Portanto
Como
, obtemos
Passo 5
Juntar os resultados e simplificar:
A integral original é a diferença das duas parcelas que calculamos:
Podemos deixar nessa forma ou fatorar
se preferir:
Ambas são equivalentes; a primeira é bem direta.