Verifique o teorema de Stokes para o seguinte campo vetorial:
onde a superfície é a semi-esfera
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial
sobre a superfície
que é a semi-esfera
As perguntas claras são:
- Calcular
(integral de superfície do rotacional sobre a semi-esfera). - Calcular
(integral de linha ao longo da curva de contorno , que é o círculo ). - Verificar que os dois valores coincidem (isto é a verificação do Teorema de Stokes).
Informações relevantes dadas:
- A superfície
é a semi-esfera de raio centrada na origem, parte superior. - O contorno
é o círculo plano de raio no plano . - É necessária atenção à orientação: se escolhermos a normal unitária apontando para fora da esfera (radial, que tem componente positiva
na semi-esfera superior), a orientação positiva do contorno é o sentido anti-horário visto de cima (quando observado na direção do vetor normal).
Passo 2
Cálculo do rotacional
e explicação do conceito usado.
O rotacional de um campo vetorial
é definido por
Aqui temos
,
,
.
Calculemos as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do rotacional,
Portanto
Comentário didático curto: o rotacional mede a tendência de “giro local” do campo. Aqui a componente na direção
é zero; as outras dependem de
e
.
Passo 3
Cálculo da integral de superfície
usando parametrização esférica.
Escolho a normal unitária
como a normal exterior radial da esfera (para a esfera centrada na origem,
). Para a esfera de raio
, o elemento de área vetorial é
onde uso coordenadas esféricas:
com
e
(porque é a semi-esfera superior).
Para
:
e
Agora calculamos o produto escalar
. Primeiro escrevemos
. Temos
Substituindo
e
,
O produto escalar com
é
Agrupando termos:
Portanto o integrando escalar é
Agora integramos:
Separe em duas integrais (distribuindo o produto):
Integre em
primeiro. Observe que
, então o primeiro termo some. Para o segundo termo, que não depende de
senão por um fator constante, obtemos um fator
:
Calcule a integral em
. Podemos usar
,
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Portanto
Passo 4
Cálculo da integral de linha
e justificativa da orientação.
A curva de contorno
é o círculo no plano
com raio
:
Como escolhemos a normal
apontando para fora/para cima na semi-esfera, a orientação positiva para
é o sentido anti-horário visto de cima (sentido de
crescente). Parametrizamos:
então
Avalie
ao longo da curva (lembre que
):
O produto escalar
é
Substituindo
e
,
Calcule termo a termo:
Somando:
Para facilitar a integração, escrevemos
:
Assim o integrando fica
Agora integramos de
a
:
-
. -
(função ímpar em torno de ou simetria). -
.
Portanto
Passo 5
Conclusão: os dois lados do Teorema de Stokes coincidem. Encontramos
logo o Teorema de Stokes está verificado para este campo e esta superfície.