Verifique o teorema de Stokes para o seguinte campo vetorial:
\vec{F}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}-4\right) \hat{i}_{1}+3 x_{1} x_{2} \hat{i}_{2}+\left(2 x_{1} x_{3}+x_{3}^{2}\right) \hat{i}_{3},
onde a superfície é a semi-esfera x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=16, x_{3} \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial
\vec{F}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}-4\right)\hat{i}_{1}+3x_{1}x_{2}\,\hat{i}_{2}+\left(2x_{1}x_{3}+x_{3}^{2}\right)\hat{i}_{3},
sobre a superfície S que é a semi-esfera
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=16,\qquad x_{3}\ge 0.
As perguntas claras são:
  • Calcular \displaystyle \iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot \hat{n}\,dS (integral de superfície do rotacional sobre a semi-esfera).
  • Calcular \displaystyle \oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r (integral de linha ao longo da curva de contorno \partial S, que é o círculo x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=16,\\ x_{3}=0).
  • Verificar que os dois valores coincidem (isto é a verificação do Teorema de Stokes).
Informações relevantes dadas:
  • A superfície S é a semi-esfera de raio 4 centrada na origem, parte superior.
  • O contorno \partial S é o círculo plano de raio 4 no plano x_{3}=0.
  • É necessária atenção à orientação: se escolhermos a normal unitária apontando para fora da esfera (radial, que tem componente positiva x_{3} na semi-esfera superior), a orientação positiva do contorno \partial S é o sentido anti-horário visto de cima (quando observado na direção do vetor normal).

Passo 2

Cálculo do rotacional \nabla\times\vec F e explicação do conceito usado.
O rotacional de um campo vetorial \vec F=(F_{1},F_{2},F_{3}) é definido por
\nabla\times\vec F=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{3}}\right)\hat{i}_{1} +\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{1}}\right)\hat{i}_{2} +\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}}\right)\hat{i}_{3}.
Aqui temos F_{1}=x_{1}^{2}+x_{2}-4, F_{2}=3x_{1}x_{2}, F_{3}=2x_{1}x_{3}+x_{3}^{2}.
Calculemos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{2}}=\frac{\partial}{\partial x_{2}}(2x_{1}x_{3}+x_{3}^{2})=0, \qquad \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{3}}=\frac{\partial}{\partial x_{3}}(3x_{1}x_{2})=0,
\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{3}}=0, \qquad \frac{\partial F_{3}}{\partial x_{1}}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}(2x_{1}x_{3}+x_{3}^{2})=2x_{3},
\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}(3x_{1}x_{2})=3x_{2}, \qquad \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}}=\frac{\partial}{\partial x_{2}}(x_{1}^{2}+x_{2}-4)=1.
Substituindo na fórmula do rotacional,
\nabla\times\vec F = \big(0-0\big)\hat{i}_{1} + \big(0-2x_{3}\big)\hat{i}_{2} + \big(3x_{2}-1\big)\hat{i}_{3}.
Portanto
\nabla\times\vec F = -2x_{3}\,\hat{i}_{2} + (3x_{2}-1)\,\hat{i}_{3}.
Comentário didático curto: o rotacional mede a tendência de “giro local” do campo. Aqui a componente na direção \hat{i}_1 é zero; as outras dependem de x_{2} e x_{3}.

Passo 3

Cálculo da integral de superfície \displaystyle \iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot \hat{n}\,dS usando parametrização esférica.
Escolho a normal unitária \hat{n} como a normal exterior radial da esfera (para a esfera centrada na origem, \hat{n}=\dfrac{1}{R}(x_{1},x_{2},x_{3})). Para a esfera de raio R=4, o elemento de área vetorial é
\hat{n}\,dS = \hat{r}\,R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta,
onde uso coordenadas esféricas:
x_{1}=R\sin\varphi\cos\theta,\qquad x_{2}=R\sin\varphi\sin\theta,\qquad x_{3}=R\cos\varphi,
com 0\le\theta<2\pi e 0\le\varphi\le\pi/2 (porque é a semi-esfera superior).
Para R=4:
x_{1}=4\sin\varphi\cos\theta,\quad x_{2}=4\sin\varphi\sin\theta,\quad x_{3}=4\cos\varphi,
e
dS = R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = 16\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Agora calculamos o produto escalar (\nabla\times\vec F)\cdot\hat{r}. Primeiro escrevemos \hat{r}=(\sin\varphi\cos\theta,\\ \sin\varphi\sin\theta,\\ \cos\varphi). Temos
\nabla\times\vec F = \big(0,\\\ -2x_{3},\\\ 3x_{2}-1\big).
Substituindo x_{2} e x_{3},
\nabla\times\vec F = \big(0,\\\ -2(4\cos\varphi),\\\ 3(4\sin\varphi\sin\theta)-1\big) = \big(0,\\\ -8\cos\varphi,\\\ 12\sin\varphi\sin\theta-1\big).
O produto escalar com \hat{r} é
(\nabla\times\vec F)\cdot\hat{r} = 0\cdot(\sin\varphi\cos\theta) + (-8\cos\varphi)\cdot(\sin\varphi\sin\theta) + \big(12\sin\varphi\sin\theta-1\big)\cdot\cos\varphi.
Agrupando termos:
(\nabla\times\vec F)\cdot\hat{r} = -8\cos\varphi\sin\varphi\sin\theta + 12\sin\varphi\sin\theta\cos\varphi - \cos\varphi.
(\nabla\times\vec F)\cdot\hat{r} = \cos\varphi\big(4\sin\varphi\sin\theta - 1\big).
Portanto o integrando escalar é
(\nabla\times\vec F)\cdot\hat{n}\,dS = \big[(\nabla\times\vec F)\cdot\hat{r}\big]\,R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = 16\sin\varphi\cos\varphi\big(4\sin\varphi\sin\theta - 1\big)\,d\varphi\,d\theta.
Agora integramos:
\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot\hat{n}\,dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}16\sin\varphi\cos\varphi\big(4\sin\varphi\sin\theta - 1\big)\,d\varphi\,d\theta.
Separe em duas integrais (distribuindo o produto):
= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\big(64\cos\varphi\sin^{2}\varphi\sin\theta - 16\cos\varphi\sin\varphi\big)\,d\varphi\,d\theta.
Integre em \theta primeiro. Observe que \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0, então o primeiro termo some. Para o segundo termo, que não depende de \theta senão por um fator constante, obtemos um fator 2\pi:
\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot\hat{n}\,dS = -16\cdot 2\pi \int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Calcule a integral em \varphi. Podemos usar u=\sin\varphi, du=\cos\varphi\,d\varphi. Quando \varphi vai de 0 a \pi/2, u vai de 0 a 1. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \int_{0}^{1}u\,du = \frac{1}{2}.
Portanto
\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot\hat{n}\,dS = -32\pi\cdot\frac{1}{2} = -16\pi.

Passo 4

Cálculo da integral de linha \displaystyle \oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r e justificativa da orientação.
A curva de contorno \partial S é o círculo no plano x_{3}=0 com raio 4:
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=16,\qquad x_{3}=0.
Como escolhemos a normal \hat{n} apontando para fora/para cima na semi-esfera, a orientação positiva para \partial S é o sentido anti-horário visto de cima (sentido de \theta crescente). Parametrizamos:
\vec r(\theta) = (4\cos\theta,\,4\sin\theta,\,0),\qquad 0\le\theta\le 2\pi,
então
d\vec r = (-4\sin\theta,\,4\cos\theta,\,0)\,d\theta.
Avalie \vec F ao longo da curva (lembre que x_{1}=4\cos\theta,\\ x_{2}=4\sin\theta,\\ x_{3}=0):
F_{1}=x_{1}^{2}+x_{2}-4 = 16\cos^{2}\theta + 4\sin\theta - 4,
F_{2}=3x_{1}x_{2}=3\cdot(4\cos\theta)(4\sin\theta)=48\cos\theta\sin\theta,
F_{3}=0.
O produto escalar \vec F\cdot d\vec r é
\vec F\cdot d\vec r = F_{1}\,dx_{1} + F_{2}\,dx_{2} + F_{3}\,dx_{3}.
Substituindo dx_{1}=-4\sin\theta\,d\theta e dx_{2}=4\cos\theta\,d\theta,
\vec F\cdot d\vec r = \big(16\cos^{2}\theta + 4\sin\theta - 4\big)(-4\sin\theta)\,d\theta + \big(48\cos\theta\sin\theta\big)(4\cos\theta)\,d\theta.
Calcule termo a termo:
(16\cos^{2}\theta)(-4\sin\theta) = -64\cos^{2}\theta\sin\theta,
(4\sin\theta)(-4\sin\theta) = -16\sin^{2}\theta,
(-4)(-4\sin\theta)=16\sin\theta,
(48\cos\theta\sin\theta)(4\cos\theta)=192\cos^{2}\theta\sin\theta.
Somando:
\vec F\cdot d\vec r = \big(128\cos^{2}\theta\sin\theta -16\sin^{2}\theta +16\sin\theta\big)\,d\theta.
Para facilitar a integração, escrevemos \cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta:
128\cos^{2}\theta\sin\theta = 128\sin\theta -128\sin^{3}\theta.
Assim o integrando fica
\vec F\cdot d\vec r = \big(144\sin\theta -16\sin^{2}\theta -128\sin^{3}\theta\big)\,d\theta.
Agora integramos de 0 a 2\pi:
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0.
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta = 0 (função ímpar em torno de \pi ou simetria).
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta = \pi.
Portanto
\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r = \int_{0}^{2\pi}\big(144\sin\theta -16\sin^{2}\theta -128\sin^{3}\theta\big)\,d\theta = -16\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta = -16\pi.

Passo 5

Conclusão: os dois lados do Teorema de Stokes coincidem. Encontramos
\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot\hat{n}\,dS = -16\pi \qquad\text{e}\qquad \oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r = -16\pi,
logo o Teorema de Stokes está verificado para este campo e esta superfície.

Resposta

\displaystyle \oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r=\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot\hat{n}\,dS=-16\pi

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