Uma partícula de massa m se movimenta unidimensionalmente sob a ação da força associada à energia potencial
U(x)=-A \operatorname{sech}^{2}(B x),
onde A e B são constantes positivas.
(a) No plano x y, esboce o gráfico da função U.
(b) Encontre o ponto de equilíbrio estável do sistema.
(c) Considere pequenas oscilações em torno desse ponto. Determine a frequência angular de oscilação. Em seguida, calcule o período dessas oscilações.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial unidimensional
U(x)=-A\operatorname{sech}^{2}(B x),
com A>0 e B>0. O que pede:
  • (a) Esboçar (descrever) o gráfico de U(x) no plano x y.
  • (b) Encontrar o(s) ponto(s) de equilíbrio estável do sistema.
  • (c) Para pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável: determinar a frequência angular \omega e o período T.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função \operatorname{sech}(z)=1/\operatorname{cosh}(z) está presente; \operatorname{cosh}(z)\ge1 e \operatorname{cosh}(0)=1.
  • U(x) é uma função ímpar ou par? (essa observação será útil para o esboço).
  • Parâmetros A e B são positivos; massa da partícula é m.

Passo 2

Entendendo e esboçando a forma qualitativa de U(x) — preparação para (a).
Breve lembrete sobre \operatorname{sech}:
  • \operatorname{sech}(z)=1/\operatorname{cosh}(z).
  • \operatorname{cosh}(z) tem mínimo em z=0 com \operatorname{cosh}(0)=1, e cresce para +\infty quando |z|\to\infty.
  • Portanto \operatorname{sech}(z) tem máximo \operatorname{sech}(0)=1 e \operatorname{sech}(z)\to0 quando |z|\to\infty.
  • Consequentemente \operatorname{sech}^{2}(z) é máxima em z=0 com valor 1 e tende a 0 para |z|\to\infty.
Aplicando ao potencial \,U(x)=-A\operatorname{sech}^{2}(B x)\,:
  • Em x=0: \operatorname{sech}^{2}(0)=1 então U(0)=-A (valor mínimo mais negativo).
  • Quando |x|\to\infty: \operatorname{sech}^{2}(B x)\to0 então U(x)\to0^{-} (tende a zero por baixo).
  • A função é par: \operatorname{sech}^{2}(B x) depende de x^{2}, logo U(-x)=U(x).
Portanto o esboço é um poço simétrico (funil) centrado em x=0, com mínimo U(0)=-A e assintoticamente chegando a 0 quando x\to\pm\infty. (Esse é o gráfico pedido em (a).)

Passo 3

Encontrando os pontos de equilíbrio — preparação para (b).
Teoria curta e intuitiva que vou usar:
  • Um ponto de equilíbrio x_{0} satisfaz \,F(x_{0})=0, onde a força F(x)=-\dfrac{dU}{dx}.
  • Equivalentemente, pontos de equilíbrio são soluções de \dfrac{dU}{dx}=0.
  • Para estabilidade: se \dfrac{d^{2}U}{dx^{2}}(x_{0})>0 então x_{0} é um mínimo local (equilíbrio estável); se <0 é máximo (instável).
Calcule a derivada primeira de U(x). Use regra da cadeia e derivada de \operatorname{sech}:
U(x)=-A\operatorname{sech}^{2}(B x).
Defina u=Bx. Já sabemos \dfrac{d}{du}\operatorname{sech}(u)=-\operatorname{sech}(u)\operatorname{tanh}(u). Então
\frac{d}{dx}\operatorname{sech}^{2}(B x) =2\operatorname{sech}(u)\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{sech}(u) =2\operatorname{sech}(u)\cdot\big(-\operatorname{sech}(u)\operatorname{tanh}(u)\big)\cdot B =-2B\operatorname{sech}^{2}(u)\operatorname{tanh}(u).
Portanto
\frac{dU}{dx}=-A\cdot\big(-2B\operatorname{sech}^{2}(Bx)\operatorname{tanh}(Bx)\big) =2AB\operatorname{sech}^{2}(Bx)\operatorname{tanh}(Bx).

Passo 4

Resolver \dfrac{dU}{dx}=0 para achar equilíbrio(s).
Temos
\frac{dU}{dx}=2AB\operatorname{sech}^{2}(Bx)\operatorname{tanh}(Bx)=0.
Análise dos fatores:
  • \operatorname{sech}^{2}(Bx)>0 para todo x finito (nunca zero).
  • 2AB é diferente de zero porque A>0 e B>0.
    Logo a única possibilidade de zerar o produto é
\operatorname{tanh}(Bx)=0 \quad\Rightarrow\quad Bx=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto existe um único ponto de equilíbrio em x_{0}=0.

Passo 5

Testando estabilidade calculando a segunda derivada \dfrac{d^{2}U}{dx^{2}} em x=0.
Parto da expressão da primeira derivada
\frac{dU}{dx}=2AB\operatorname{sech}^{2}(Bx)\operatorname{tanh}(Bx).
Calcule a derivada em relação a x. Seja u=Bx. Derivando (produto e cadeia):
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}=2AB\cdot\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sech}^{2}(u)\operatorname{tanh}(u)\big) =2AB\cdot B\cdot\frac{d}{du}\big(\operatorname{sech}^{2}(u)\operatorname{tanh}(u)\big).
Agora calcule a derivada em u. Use produto: se f(u)=\operatorname{sech}^{2}(u) e g(u)=\operatorname{tanh}(u), então
\frac{d}{du}(fg)=f' g + f g'.
Sabemos f'(u)=-2\operatorname{sech}^{2}(u)\operatorname{tanh}(u) e g'(u)=\operatorname{sech}^{2}(u). Logo
\frac{d}{du}\big(\operatorname{sech}^{2}(u)\operatorname{tanh}(u)\big) =-2\operatorname{sech}^{2}(u)\operatorname{tanh}(u)\cdot\operatorname{tanh}(u)+\operatorname{sech}^{2}(u)\cdot\operatorname{sech}^{2}(u).
Agrupando:
\frac{d}{du}\big(\operatorname{sech}^{2}(u)\operatorname{tanh}(u)\big) =\operatorname{sech}^{2}(u)\big(-2\operatorname{tanh}^{2}(u)+\operatorname{sech}^{2}(u)\big).
Usando \operatorname{sech}^{2}(u)=1-\operatorname{tanh}^{2}(u) para simplificar:
-2\operatorname{tanh}^{2}(u)+\operatorname{sech}^{2}(u)= -2\operatorname{tanh}^{2}(u)+1-\operatorname{tanh}^{2}(u)=1-3\operatorname{tanh}^{2}(u).
Portanto
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}=2AB^{2}\operatorname{sech}^{2}(Bx)\big(1-3\operatorname{tanh}^{2}(Bx)\big).
Agora avalie em x=0: \operatorname{tanh}(0)=0 e \operatorname{sech}(0)=1. Assim
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}\Big|_{x=0}=2AB^{2}\cdot 1\cdot(1-0)=2AB^{2}.
Como A>0 e B>0 segue \dfrac{d^{2}U}{dx^{2}}(0)=2AB^{2}>0. Conclusão: x_{0}=0 é um mínimo local de U, logo é equilíbrio estável.

Passo 6

Pequenas oscilações: ideia física e fórmula usada para (c).
Teoria usada (muito importante para a prova):
  • Para pequenas oscilações em torno de um mínimo x_{0}, a energia potencial pode ser aproximada pela expansão de Taylor até a segunda ordem:
U(x)\approx U(x_{0})+\frac{1}{2}U''(x_{0})(x-x_{0})^{2}.
  • Essa forma é a do potencial harmônico com constante elástica efetiva k=U''(x_{0}).
  • Para uma partícula de massa m num potencial harmônico U_{\rm harm}(x)=\tfrac{1}{2}k(x-x_{0})^{2}, a frequência angular é
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
  • Logo aqui k=U''(x_{0}) e \omega=\sqrt{\dfrac{U''(x_{0})}{m}}.

Passo 7

Aplicando a fórmula com o valor de U''(0) que obtivemos.
Temos U''(0)=2AB^{2}. Então a frequência angular das pequenas oscilações é
\omega=\sqrt{\frac{U''(0)}{m}}=\sqrt{\frac{2AB^{2}}{m}}.
O período correspondente é
T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{2AB^{2}}}.
Interpretação rápida e encorajamento: isso diz que quanto maior a profundidade A ou o parâmetro B (que controla a largura do poço), maior a rigidez efetiva e maior \omega; já massa maior diminui \omega, como esperado.

Resposta

(a) Gráfico: poço simétrico com mínimo em x=0, U(0)=-A, e U(x)\to0^{-} quando x\to\pm\infty.\n
(b) x_{0}=0.\n
(c) \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{2AB^{2}}{m}}\n
\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{2AB^{2}}}

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