Uma partícula de massa m se movimenta unidimensionalmente sob a ação da força associada à energia potencial
U(x)=-A \operatorname{sech}^{2}(B x),
onde A e B são constantes positivas.
(a) No plano x y, esboce o gráfico da função U.
(b) Encontre o ponto de equilíbrio estável do sistema.
(c) Considere pequenas oscilações em torno desse ponto. Determine a frequência angular de oscilação. Em seguida, calcule o período dessas oscilações.
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial unidimensional
U(x)=-A\operatorname{sech}^{2}(B x),
com A>0 e B>0. O que pede:
(a) Esboçar (descrever) o gráfico de U(x) no plano x y.
(b) Encontrar o(s) ponto(s) de equilíbrio estável do sistema.
(c) Para pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável: determinar a frequência angular \omega e o período T.
Informações relevantes fornecidas:
A função \operatorname{sech}(z)=1/\operatorname{cosh}(z) está presente; \operatorname{cosh}(z)\ge1 e \operatorname{cosh}(0)=1.
U(x) é uma função ímpar ou par? (essa observação será útil para o esboço).
Parâmetros A e B são positivos; massa da partícula é m.
Passo 2
Entendendo e esboçando a forma qualitativa de U(x) — preparação para (a).
Breve lembrete sobre \operatorname{sech}:
\operatorname{sech}(z)=1/\operatorname{cosh}(z).
\operatorname{cosh}(z) tem mínimo em z=0 com \operatorname{cosh}(0)=1, e cresce para +\infty quando |z|\to\infty.
Portanto \operatorname{sech}(z) tem máximo \operatorname{sech}(0)=1 e \operatorname{sech}(z)\to0 quando |z|\to\infty.
Consequentemente \operatorname{sech}^{2}(z) é máxima em z=0 com valor 1 e tende a 0 para |z|\to\infty.
Aplicando ao potencial \,U(x)=-A\operatorname{sech}^{2}(B x)\,:
Em x=0: \operatorname{sech}^{2}(0)=1 então U(0)=-A (valor mínimo mais negativo).
Quando |x|\to\infty: \operatorname{sech}^{2}(B x)\to0 então U(x)\to0^{-} (tende a zero por baixo).
A função é par: \operatorname{sech}^{2}(B x) depende de x^{2}, logo U(-x)=U(x).
Portanto o esboço é um poço simétrico (funil) centrado em x=0, com mínimo U(0)=-A e assintoticamente chegando a 0 quando x\to\pm\infty. (Esse é o gráfico pedido em (a).)
Passo 3
Encontrando os pontos de equilíbrio — preparação para (b).
Teoria curta e intuitiva que vou usar:
Um ponto de equilíbrio x_{0} satisfaz \,F(x_{0})=0, onde a força F(x)=-\dfrac{dU}{dx}.
Equivalentemente, pontos de equilíbrio são soluções de \dfrac{dU}{dx}=0.
Para estabilidade: se \dfrac{d^{2}U}{dx^{2}}(x_{0})>0 então x_{0} é um mínimo local (equilíbrio estável); se <0 é máximo (instável).
Calcule a derivada primeira de U(x). Use regra da cadeia e derivada de \operatorname{sech}:
U(x)=-A\operatorname{sech}^{2}(B x).
Defina u=Bx. Já sabemos \dfrac{d}{du}\operatorname{sech}(u)=-\operatorname{sech}(u)\operatorname{tanh}(u). Então
\frac{d}{dx}\operatorname{sech}^{2}(B x) =2\operatorname{sech}(u)\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{sech}(u) =2\operatorname{sech}(u)\cdot\big(-\operatorname{sech}(u)\operatorname{tanh}(u)\big)\cdot B =-2B\operatorname{sech}^{2}(u)\operatorname{tanh}(u).
Interpretação rápida e encorajamento: isso diz que quanto maior a profundidade A ou o parâmetro B (que controla a largura do poço), maior a rigidez efetiva e maior \omega; já massa maior diminui \omega, como esperado.
Resposta
(a) Gráfico: poço simétrico com mínimo em x=0, U(0)=-A, e U(x)\to0^{-} quando x\to\pm\infty.\n
(b) x_{0}=0.\n
(c) \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{2AB^{2}}{m}}\n \displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{2AB^{2}}}