Y^{\prime}+2 x y=2 x^{3}, \operatorname{com} y(0)=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
  • Equação: Y'+2x\,y=2x^{3}.
  • Condição inicial: y(0)=1.
O que foi pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial.

Passo 2

Vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
y'+p(x)\,y=q(x).
Comparando, aqui temos p(x)=2x e q(x)=2x^{3}.

Passo 3

Método que vamos usar (explicado passo a passo): a técnica do fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo vire a derivada de \mu(x)y(x). Essa \mu(x) é dada por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Explicando: \mu é escolhida pois então
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu y'+\mu p y,
logo ao multiplicar a equação original por \mu obtemos exatamente isso no lado esquerdo, permitindo integrar facilmente.

Passo 4

Calcular o fator integrante para p(x)=2x:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 2x\,dx\Big)=\exp\!\big(x^{2}\big)=e^{x^{2}}.
Multiplicando a equação original por \mu(x):
e^{x^{2}}y' + 2x e^{x^{2}} y = 2x^{3} e^{x^{2}}.
Pelo motivo da etapa anterior, o lado esquerdo é
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}} y\big).
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}} y\big)=2x^{3} e^{x^{2}}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x^{2}} y = \int 2x^{3} e^{x^{2}}\,dx + C,
onde C é constante de integração. Precisamos calcular a integral \displaystyle\int 2x^{3} e^{x^{2}}\,dx.

Passo 6

Calcular \displaystyle\int 2x^{3} e^{x^{2}}\,dx com uma substituição simples. Seja \,t=x^{2}. Então \,dt=2x\,dx, daí x^{3}dx = x^{2}\cdot x\,dx = t\cdot\frac{dt}{2}. Assim:
\int 2x^{3} e^{x^{2}}\,dx = 2\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx = 2\int \frac{t}{2} e^{t}\,dt = \int t e^{t}\,dt.
Agora integramos \int t e^{t}\,dt por partes (ou lembrar a primitiva): tomar u=t, dv=e^{t}dt
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - \int e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t} + C = (t-1)e^{t}+C.
Voltando a t=x^{2}, obtemos
\int 2x^{3} e^{x^{2}}\,dx = (x^{2}-1)e^{x^{2}} + C.

Passo 7

Substituindo na expressão de e^{x^{2}}y:
e^{x^{2}} y = (x^{2}-1)e^{x^{2}} + C.
Isolando y:
y = x^{2}-1 + C e^{-x^{2}}.

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Em x=0:
1 = y(0) = 0^{2}-1 + C e^{0} = -1 + C.
Logo C=2.

Passo 9

Substituindo C=2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=x^{2}-1 + 2 e^{-x^{2}}.

Resposta

y(x)=x^{2}-1+2e^{-x^{2}}

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