Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
- Equação:
- Condição inicial:
O que foi pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial.
Passo 2
Vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
Comparando, aqui temos
e
Passo 3
Método que vamos usar (explicado passo a passo): a técnica do fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo vire a derivada de
. Essa
é dada por
Explicando:
é escolhida pois então
logo ao multiplicar a equação original por
obtemos exatamente isso no lado esquerdo, permitindo integrar facilmente.
Passo 4
Calcular o fator integrante para
:
Multiplicando a equação original por
:
Pelo motivo da etapa anterior, o lado esquerdo é
Portanto a equação fica
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Precisamos calcular a integral
.
Passo 6
Calcular
com uma substituição simples. Seja
. Então
, daí
. Assim:
Agora integramos
por partes (ou lembrar a primitiva): tomar
,
dá
Voltando a
, obtemos
Passo 7
Substituindo na expressão de
:
Isolando
:
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Em
:
Logo
.
Passo 9
Substituindo
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial: