\int_{0}^{2}\left(t^{2}+3 t-1\right) d t

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{2}\left(t^{2}+3 t-1\right)\,dt.\n
Informações dadas: integrando \left(t^{2}+3 t-1\right) e intervalo de integração de t=0 até t=2.\n
Objetivo final: encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Ideia de resolução (em palavras simples): para calcular uma integral definida de uma função contínua, a forma mais prática é encontrar uma primitiva (antiderivada) F(t) da função, isto é, uma função cuja derivada é o integrando. Depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida de a até b é F(b)-F(a).\n
Explicando o que é primitiva: se F'(t)=f(t), então F é uma primitiva de f. No nosso caso queremos uma F tal que F'(t)=t^{2}+3t-1.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas e fáceis de aplicar):\n
Regra da linearidade: \displaystyle \int (u+v+w)\,dt = \int u\,dt + \int v\,dt + \int w\,dt. Isso permite integrar termo a termo.\n
Constante multiplicativa: \displaystyle \int c\cdot u(t)\,dt = c\int u(t)\,dt para constante c.\n
Regra de potência (para primitiva): \displaystyle \int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.\n
Aqui t é a variável de integração, n é um número (expoente) e C é a constante de integração (não precisa se preocupar com C ao avaliar uma integral definida).

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo ao integrando \left(t^{2}+3t-1\right):\n
  • Para \displaystyle t^{2}, usando a regra de potência com n=2: \displaystyle \int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3}.\n
  • Para \displaystyle 3t, aplicamos a constante 3 e a regra de potência com n=1: \displaystyle \int 3t\,dt = 3\int t\,dt = 3\cdot\frac{t^{2}}{2} = \frac{3}{2}t^{2}.\n
  • Para \displaystyle -1, que é constante, \displaystyle \int -1\,dt = -t.\n
    Somando, uma primitiva é
F(t)=\frac{t^{3}}{3}+\frac{3}{2}t^{2}-t.

Passo 5

Agora avaliamos a primitiva nos extremos e subtraímos: \displaystyle \int_{0}^{2}\left(t^{2}+3t-1\right)\,dt = F(2)-F(0).\n
Calcule F(2):\n
F(2)=\frac{2^{3}}{3}+\frac{3}{2}\cdot 2^{2}-2.
Detalhando os termos:\n
\displaystyle \frac{2^{3}}{3}=\frac{8}{3}.\n
\displaystyle \frac{3}{2}\cdot 2^{2}=\frac{3}{2}\cdot 4=\frac{12}{2}=6.\n
\displaystyle -2 é o último termo.\n
Somando: \displaystyle F(2)=\frac{8}{3}+6-2=\frac{8}{3}+4.\n
Transformando 4 em terços: 4=\frac{12}{3}. Portanto\n
F(2)=\frac{8}{3}+\frac{12}{3}=\frac{20}{3}.
Calcule F(0):\n
F(0)=\frac{0^{3}}{3}+\frac{3}{2}\cdot 0^{2}-0=0.

Passo 6

Concluímos aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{2}\left(t^{2}+3t-1\right)\,dt = F(2)-F(0)=\frac{20}{3}-0=\frac{20}{3}.
Parabéns — chegou na resposta! Dá para conferir os passos rápidos na prova: antiderivada termo a termo e avaliar nos limites.

Resposta

\displaystyle \frac{20}{3}

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