Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral definida
.\n
Informações dadas: integrando e intervalo de integração de
até
.\n
Objetivo final: encontrar o valor numérico dessa integral.
Informações dadas: integrando
Objetivo final: encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Ideia de resolução (em palavras simples): para calcular uma integral definida de uma função contínua, a forma mais prática é encontrar uma primitiva (antiderivada)
da função, isto é, uma função cuja derivada é o integrando. Depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida de
até
é
.\n
Explicando o que é primitiva: se , então
é uma primitiva de
. No nosso caso queremos uma
tal que
.
Explicando o que é primitiva: se
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas e fáceis de aplicar):\n
Regra da linearidade: . Isso permite integrar termo a termo.\n
Constante multiplicativa: para constante
.\n
Regra de potência (para primitiva): para
.\n
Aqui é a variável de integração,
é um número (expoente) e
é a constante de integração (não precisa se preocupar com
ao avaliar uma integral definida).
Regra da linearidade:
Constante multiplicativa:
Regra de potência (para primitiva):
Aqui
Passo 4
Aplicando as regras termo a termo ao integrando
:\n
- Para
, usando a regra de potência com : .\n - Para
, aplicamos a constante e a regra de potência com : \n - Para
, que é constante, \n
Somando, uma primitiva é
Passo 5
Agora avaliamos a primitiva nos extremos e subtraímos:
\n
Calcule :\n
Calcule
Detalhando os termos:\n
\n
\n
é o último termo.\n
Somando: \n
Transformando em terços:
. Portanto\n
Somando:
Transformando
Calcule
:\n
Passo 6
Concluímos aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Parabéns — chegou na resposta! Dá para conferir os passos rápidos na prova: antiderivada termo a termo e avaliar nos limites.