Questão 4. \_\_\_\_
( 2.5 pt ) Calcule
\iint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S},
onde
\vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}+c^{y} \cos \left(z y^{3}\right), y^{2}+e^{x} \ln \left(1+x^{2}+z^{2}\right), 2 z^{2}+x^{3} e^{\operatorname{sen}(3 y)}\right),
e S é a superfície fronteira da regiāo E=\left\{(x, y, z) ;|x| \leq 1,|y| \leq 1,0 \leq z \leq 5-x^{2} y^{3}\right\} orientada para fora. O uso do Teorema da Divergência é obrigatório.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o fluxo
\iint_{S} \vec{F}\cdot d\vec{S}
onde a campo vetorial é
\vec{F}(x,y,z)=\left(x^{2}+c^{y}\cos\!\big(z y^{3}\big),\; y^{2}+e^{x}\ln\!\big(1+x^{2}+z^{2}\big),\; 2z^{2}+x^{3}e^{\operatorname{sen}(3y)}\right),
e S é a superfície fronteira da região
E=\{(x,y,z)\mid |x|\le 1,\;|y|\le 1,\;0\le z\le 5-x^{2}y^{3}\},
orientada para fora. O enunciado também diz explicitamente que o uso do Teorema da Divergência é obrigatório.
Informações relevantes dadas:
  • A região E tem projeção no plano xy igual ao retângulo [-1,1]\times[-1,1].
  • Para cada (x,y) nesse retângulo, z varia de 0 até 5-x^{2}y^{3}.
  • O campo \vec{F} é dado por três componentes explícitas (ver acima).

Passo 2

Escolha do método e enunciado do teorema (curtinho e didático).
Vou usar o Teorema da Divergência (conforme pedido). O Teorema da Divergência diz o seguinte: para uma região sólida E com fronteira suave S e campo vetorial suficientemente regular \vec{F},
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{E}\operatorname{div}\vec{F}\;dV,
onde \operatorname{div}\vec{F} é a divergência de \vec{F}, isto é a soma das derivadas parciais das componentes:
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Explicação rápida: o fluxo total através da fronteira é igual à integral volumétrica da “taxa local de saída” do campo, que é a divergência.

Passo 3

Calcular a divergência \operatorname{div}\vec{F}.
As componentes são
F_1(x,y,z)=x^{2}+c^{y}\cos\!\big(z y^{3}\big),
F_2(x,y,z)=y^{2}+e^{x}\ln\!\big(1+x^{2}+z^{2}\big),
F_3(x,y,z)=2z^{2}+x^{3}e^{\operatorname{sen}(3y)}.
Vamos derivar cada uma em relação à sua variável:
  • \dfrac{\partial F_1}{\partial x}=\dfrac{d}{dx}\big(x^{2}\big)+\dfrac{d}{dx}\big(c^{y}\cos(z y^{3})\big). Aqui c^{y}\cos(z y^{3}) não depende de x (pois c^{y} depende só de y e \cos(z y^{3}) depende só de y,z), então sua derivada em relação a x é 0. Assim
\frac{\partial F_1}{\partial x}=2x.
  • \dfrac{\partial F_2}{\partial y}=\dfrac{d}{dy}\big(y^{2}\big)+\dfrac{d}{dy}\big(e^{x}\ln(1+x^{2}+z^{2})\big). O segundo termo não depende de y, logo
\frac{\partial F_2}{\partial y}=2y.
  • \dfrac{\partial F_3}{\partial z}=\dfrac{d}{dz}\big(2z^{2}\big)+\dfrac{d}{dz}\big(x^{3}e^{\operatorname{sen}(3y)}\big). O segundo termo não depende de z, então
\frac{\partial F_3}{\partial z}=4z.
Somando,
\operatorname{div}\vec{F}=2x+2y+4z.

Passo 4

Montar a integral tripla sobre E usando os limites dados.
Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{E}(2x+2y+4z)\,dV.
Como E é descrita por |x|\le1,\;|y|\le1,\;0\le z\le 5-x^{2}y^{3}, podemos escrever a integral iterada como
\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-1}^{1}\int_{z=0}^{5-x^{2}y^{3}} (2x+2y+4z)\,dz\,dy\,dx.

Passo 5

Integrar em z primeiro (cálculo direto e mostrando cada passo).
Seja h(x,y)=5-x^{2}y^{3} o limite superior em z. Integramos
\int_{0}^{h}(2x+2y+4z)\,dz.
Como 2x+2y é constante em z,
\int_{0}^{h}(2x+2y)\,dz=(2x+2y)h.
E
\int_{0}^{h}4z\,dz=4\cdot\frac{h^{2}}{2}=2h^{2}.
Portanto a integral em z
(2x+2y)h+2h^{2},
ou seja
(2x+2y)\big(5-x^{2}y^{3}\big)+2\big(5-x^{2}y^{3}\big)^{2}.
Assim o fluxo é
\iint_{[-1,1]^2}\Big[(2x+2y)\big(5-x^{2}y^{3}\big)+2\big(5-x^{2}y^{3}\big)^{2}\Big]\,dy\,dx.

Passo 6

Explorar simetrias e calcular as integrais em x,y (a parte de “mastigar” as contas).
Primeiro, some observações úteis sobre integrais em [-1,1]:
  • Se f é função ímpar em x (isto é f(-x)=-f(x)), então \int_{-1}^{1} f(x)\,dx=0.
  • Se n é par, \displaystyle\int_{-1}^{1} x^{n}\,dx=\frac{2}{n+1}. Por exemplo \displaystyle\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx=\frac{2}{3}, \displaystyle\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx=\frac{2}{5}.
Agora expandimos e separamos termos:
Escrevendo h=5-x^{2}y^{3},
(2x+2y)h = 10x+10y -2x^{3}y^{3}-2x^{2}y^{4},
e
2h^{2}=2\big(25-10x^{2}y^{3}+x^{4}y^{6}\big)=50-20x^{2}y^{3}+2x^{4}y^{6}.
Somando tudo:
(2x+2y)h+2h^{2}= \big(10x+10y\big) \;+\; \big(-2x^{3}y^{3}-2x^{2}y^{4}-20x^{2}y^{3}\big)\;+\; \big(50+2x^{4}y^{6}\big).
Agora vamos integrar termo a termo sobre (x,y)\in[-1,1]\times[-1,1].
Termos que são ímpares em x ou em y dão zero quando integremos sobre um intervalo simétrico:
  • \displaystyle\iint 10x\,dy\,dx=0 porque integrar 10x em x sobre [-1,1] 0.
  • \displaystyle\iint 10y\,dy\,dx=0 pela mesma razão (impar em y).
  • Termos com fator y^{3} isolado como \int_{-1}^{1} y^{3}\,dy também desaparecem.
Concentremo-nos nos termos que permanecem:
  1. O termo com -2x^{2}y^{4}. Sua integral é
\iint_{[-1,1]^2} -2x^{2}y^{4}\,dy\,dx = -2\left(\int_{-1}^{1}x^{2}dx\right)\left(\int_{-1}^{1}y^{4}dy\right).
Usando \displaystyle\int_{-1}^{1}x^{2}dx=\frac{2}{3} e \displaystyle\int_{-1}^{1}y^{4}dy=\frac{2}{5},
-2\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{5} = -\frac{8}{15}.
  1. O termo constante 50
\iint_{[-1,1]^2}50\,dy\,dx = 50\cdot\text{área}([-1,1]^2)=50\cdot 4=200.á
  1. O termo 2x^{4}y^{6}
\iint_{[-1,1]^2} 2x^{4}y^{6}\,dy\,dx = 2\left(\int_{-1}^{1}x^{4}dx\right)\left(\int_{-1}^{1}y^{6}dy\right).
Com \displaystyle\int_{-1}^{1}x^{4}dx=\frac{2}{5} e \displaystyle\int_{-1}^{1}y^{6}dy=\frac{2}{7},
2\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{7}=\frac{8}{35}.
  1. Os termos que contêm x^{3}y^{3} ou x^{2}y^{3} têm fator de uma potência ímpar em y (ou em x) e, ao integrar sobre [-1,1] em y (ou x), anulam-se. Logo não contribuem.
Somando as contribuições não nulas:
\text{fluxo}= \left(-\frac{8}{15}\right) + 200 + \frac{8}{35}.

Passo 7

Somar as frações e simplificar.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 105:
200 = \frac{200\cdot 105}{105}=\frac{21000}{105},
-\frac{8}{15}=-\frac{56}{105},
\frac{8}{35}=\frac{24}{105}.
Somando:
\frac{21000}{105}-\frac{56}{105}+\frac{24}{105}=\frac{21000-56+24}{105}=\frac{20968}{105}.
Portanto o fluxo pedido é \dfrac{20968}{105}. (Se quiser, isso é aproximadamente 199{,}695\ldots.)

Resposta

\displaystyle \frac{20968}{105}

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