Questão 4.
( 2.5 pt ) Calcule
,
onde
e
é a superfície fronteira da regiāo
orientada para fora. O uso do Teorema da Divergência é obrigatório.
( 2.5 pt ) Calcule
onde
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o fluxo
onde a campo vetorial é
e
é a superfície fronteira da região
orientada para fora. O enunciado também diz explicitamente que o uso do Teorema da Divergência é obrigatório.
Informações relevantes dadas:
- A região
tem projeção no plano igual ao retângulo . - Para cada
nesse retângulo, varia de até . - O campo
é dado por três componentes explícitas (ver acima).
Passo 2
Escolha do método e enunciado do teorema (curtinho e didático).
Vou usar o Teorema da Divergência (conforme pedido). O Teorema da Divergência diz o seguinte: para uma região sólida
com fronteira suave
e campo vetorial suficientemente regular
,
onde
é a divergência de
, isto é a soma das derivadas parciais das componentes:
Explicação rápida: o fluxo total através da fronteira é igual à integral volumétrica da “taxa local de saída” do campo, que é a divergência.
Passo 3
Calcular a divergência
.
As componentes são
Vamos derivar cada uma em relação à sua variável:
-
. Aqui não depende de (pois depende só de e depende só de ), então sua derivada em relação a é . Assim
-
. O segundo termo não depende de , logo
-
. O segundo termo não depende de , então
Somando,
Passo 4
Montar a integral tripla sobre
usando os limites dados.
Pelo Teorema da Divergência,
Como
é descrita por
, podemos escrever a integral iterada como
Passo 5
Integrar em
primeiro (cálculo direto e mostrando cada passo).
Seja
o limite superior em
. Integramos
Como
é constante em
,
E
Portanto a integral em
dá
ou seja
Assim o fluxo é
Passo 6
Explorar simetrias e calcular as integrais em
(a parte de “mastigar” as contas).
Primeiro, some observações úteis sobre integrais em
:
- Se
é função ímpar em (isto é ), então . - Se
é par, . Por exemplo , .
Agora expandimos e separamos termos:
Escrevendo
,
e
Somando tudo:
Agora vamos integrar termo a termo sobre
.
Termos que são ímpares em
ou em
dão zero quando integremos sobre um intervalo simétrico:
-
porque integrar em sobre dá . -
pela mesma razão (impar em ). - Termos com fator
isolado como também desaparecem.
Concentremo-nos nos termos que permanecem:
- O termo com
. Sua integral é
Usando
e
,
- O termo constante
dá
- O termo
dá
Com
e
,
- Os termos que contêm
ou têm fator de uma potência ímpar em (ou em ) e, ao integrar sobre em (ou ), anulam-se. Logo não contribuem.
Somando as contribuições não nulas:
Passo 7
Somar as frações e simplificar.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Somando:
Portanto o fluxo pedido é
. (Se quiser, isso é aproximadamente
.)