\int_{0}^{3}\left(u^{2}-2 u+3\right) d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3}\left(u^{2}-2u+3\right)\,du.
Informações dadas:
  • A função a ser integrada (o integrando) é \,u^{2}-2u+3.
  • Os limites de integração são 0 (limite inferior) e 3 (limite superior).
  • O objetivo é encontrar o valor numérico da integral definida, isto é, o número real correspondente à área algébrica sob a curva entre u=0 e u=3.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicação didática): para calcular uma integral definida polinomial é conveniente encontrar uma primitiva (antiderivada) F(u) da função integranda e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que
\int_{a}^{b} f(u)\,du = F(b)-F(a),
onde F'(u)=f(u). Vou mostrar passo a passo como obter F(u) usando regras básicas de integração (linearidade e regra de potência).

Passo 3

Linearidade da integral (o que significa e como usar): a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem ser puxadas para fora da integral. Em fórmulas:
\int (g(u)+h(u))\,du = \int g(u)\,du + \int h(u)\,du,
\int c\cdot g(u)\,du = c\int g(u)\,du,
onde c é constante. Aplicando isso ao nosso integrando \,u^{2}-2u+3 podemos separar:
\int\left(u^{2}-2u+3\right)du = \int u^{2}\,du - 2\int u\,du + \int 3\,du.
Isso facilita porque agora integramos termos simples.

Passo 4

Regra da potência para antiderivadas (a “fórmula mágica”): para qualquer real n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui u é a variável de integração e n o expoente. Vamos aplicar essa regra a cada termo:
  • Para \int u^{2}\,du, usamos n=2:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.
  • Para \int u\,du, note que u = u^{1} e n=1:
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C.
  • Para \int 3\,du, tratamos 3 como constante multiplicando \int 1\,du. Como \int 1\,du = u + C, temos
\int 3\,du = 3u + C.

Passo 5

Formando a primitiva da soma (juntando tudo): usando a linearidade e os resultados do passo anterior,
\int\left(u^{2}-2u+3\right)du = \frac{u^{3}}{3} - 2\cdot\frac{u^{2}}{2} + 3u + C.
Simplificando o termo com o 2:
-2\cdot\frac{u^{2}}{2} = -u^{2}.
Portanto uma primitiva conveniente é
F(u)=\frac{u^{3}}{3} - u^{2} + 3u.
Observação: a constante C não é necessária ao calcular integral definida porque ela se cancela ao subtrair F(b)-F(a).

Passo 6

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: agora calculamos
\int_{0}^{3}\left(u^{2}-2u+3\right)du = F(3)-F(0),
onde F(u)=\dfrac{u^{3}}{3}-u^{2}+3u.

Passo 7

Avaliação em u=3: calcule F(3)
F(3)=\frac{3^{3}}{3}-3^{2}+3\cdot 3.
Passo a passo:
3^{3}=27,\quad \frac{27}{3}=9,
3^{2}=9,
3\cdot 3=9.
Então
F(3)=9-9+9=9.

Passo 8

Avaliação em u=0: calcule F(0)
F(0)=\frac{0^{3}}{3}-0^{2}+3\cdot 0 = 0-0+0=0.

Passo 9

Subtração final para obter a integral definida:
\int_{0}^{3}\left(u^{2}-2u+3\right)du = F(3)-F(0)=9-0=9.

Resposta

9

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