Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a ser integrada (o integrando) é
. - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior). - O objetivo é encontrar o valor numérico da integral definida, isto é, o número real correspondente à área algébrica sob a curva entre
e .
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicação didática): para calcular uma integral definida polinomial é conveniente encontrar uma primitiva (antiderivada)
da função integranda e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que
onde
. Vou mostrar passo a passo como obter
usando regras básicas de integração (linearidade e regra de potência).
Passo 3
Linearidade da integral (o que significa e como usar): a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem ser puxadas para fora da integral. Em fórmulas:
onde
é constante. Aplicando isso ao nosso integrando
podemos separar:
Isso facilita porque agora integramos termos simples.
Passo 4
Regra da potência para antiderivadas (a “fórmula mágica”): para qualquer real
,
onde
é a constante de integração. Aqui
é a variável de integração e
o expoente. Vamos aplicar essa regra a cada termo:
- Para
, usamos :
- Para
, note que e :
- Para
, tratamos como constante multiplicando . Como , temos
Passo 5
Formando a primitiva da soma (juntando tudo): usando a linearidade e os resultados do passo anterior,
Simplificando o termo com o
:
Portanto uma primitiva conveniente é
Observação: a constante
não é necessária ao calcular integral definida porque ela se cancela ao subtrair
.
Passo 6
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: agora calculamos
onde
.
Passo 7
Avaliação em
: calcule
Passo a passo:
Então
Passo 8
Avaliação em
: calcule
Passo 9
Subtração final para obter a integral definida: