Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
e
são os limites de integração.
A função a integrar é , ou seja, a raiz quadrada no denominador da expressão linear
.
A função a integrar é
Passo 2
Por que escolher uma substituição?
Quando temos uma função composta do tipo , uma boa estratégia é usar a substituição que transforma a parte interna em uma nova variável. Aqui a parte interna é
. Vamos definir uma nova variável para simplificar a integral.
Quando temos uma função composta do tipo
Passo 3
Definimos a substituição
Agora calculamos a diferencial: derivando ambos os lados em relação a
,
Isolando
obtemos
Passo 4
Mudança dos limites de integração (importante para integrais definidas): quando
varia de
a
, a nova variável
vale
Portanto os novos limites serão de
até
.
Passo 5
Substituindo na integral original
e
, obtemos
Fatorando a constante
para fora,
Passo 6
Agora precisamos integrar
. Usamos a regra da potência para integrais (uma fórmula muito útil):
Aqui
. Aplicando a fórmula:
Passo 7
Voltando à integral com o fator
,
Note que a multiplicação pela constante simplificou:
.
Passo 8
Avaliação nos limites:
Passo 9
Verificação rápida (confirmação): uma antiderivada em termos de
é
, pois
logo a avaliação de
de
até
também dá
, confirmando o resultado.