\int_{0}^{4}(2 x+1)^{-1 / 2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4}(2x+1)^{-1/2}\,dx.
Informações relevantes dadas:
\;0 e \;4 são os limites de integração.
A função a integrar é (2x+1)^{-1/2}, ou seja, a raiz quadrada no denominador da expressão linear 2x+1.

Passo 2

Por que escolher uma substituição?
Quando temos uma função composta do tipo (\text{função linear})^{\text{alguma potência}}çãê, uma boa estratégia é usar a substituição que transforma a parte interna em uma nova variável. Aqui a parte interna é \;2x+1. Vamos definir uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 3

Definimos a substituição
u = 2x+1.
Agora calculamos a diferencial: derivando ambos os lados em relação a x,
\frac{du}{dx}=2\quad\Rightarrow\quad du=2\,dx.
Isolando dx obtemos
dx=\frac{du}{2}.

Passo 4

Mudança dos limites de integração (importante para integrais definidas): quando x varia de \;0 a \;4, a nova variável u vale
\text{para } x=0:\; u=2\cdot 0+1=1,
\text{para } x=4:\; u=2\cdot 4+1=9.
Portanto os novos limites serão de \;u=1 até \;u=9.

Passo 5

Substituindo na integral original \;dx=\dfrac{du}{2} e \;2x+1=u, obtemos
\int_{0}^{4}(2x+1)^{-1/2}\,dx = \int_{1}^{9}u^{-1/2}\cdot\frac{du}{2}.
Fatorando a constante \dfrac{1}{2} para fora,
\int_{0}^{4}(2x+1)^{-1/2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{9}u^{-1/2}\,du.

Passo 6

Agora precisamos integrar \;u^{-1/2}. Usamos a regra da potência para integrais (uma fórmula muito útil):
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C,\quad \text{desde que } n\neq -1.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}. Aplicando a fórmula:
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1}+C = \frac{u^{1/2}}{1/2}+C = 2u^{1/2}+C.

Passo 7

Voltando à integral com o fator \dfrac{1}{2},
\frac{1}{2}\int_{1}^{9}u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2}\bigl[2u^{1/2}\bigr]_{1}^{9} = \bigl[u^{1/2}\bigr]_{1}^{9}.
Note que a multiplicação pela constante simplificou: \dfrac{1}{2}\cdot 2 = 1.

Passo 8

Avaliação nos limites:
\bigl[u^{1/2}\bigr]_{1}^{9} = 9^{1/2}-1^{1/2} = \sqrt{9}-\sqrt{1} = 3-1 = 2.

Passo 9

Verificação rápida (confirmação): uma antiderivada em termos de x é \sqrt{2x+1}, pois
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{2x+1}\bigr)=\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}\cdot 2 = (2x+1)^{-1/2},
logo a avaliação de \sqrt{2x+1} de x=0 até x=4 também dá \sqrt{9}-\sqrt{1}=2, confirmando o resultado.

Resposta

2

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