Sejam
e
, ou seja
é mônico. Prove que existem
tais que
onde
ou
.
Passo 1
O enunciado dá:
e
, ou seja,
é polinômio de grau
cujo coeficiente líder é
(polinômio mônico). O que precisamos provar é: existem
tais que
onde
ou
.
Passo 2
Primeiro vou definir e explicar os termos que vamos usar, devagarinho, como um colega que te segura pela mão:
- Para um polinômio
com , dizemos e chamamos de coeficiente líder (ou coeficiente de maior grau). - Um polinômio é mônico quando seu coeficiente líder vale
.
Essas definições são importantes porque, ao multiplicar um inteiro pelo polinômio mônico, o termo de maior grau resultante tem coeficiente inteiro igual ao inteiro multiplicador (não aparecem frações).
Passo 3
Ideia do método (sem formalizar ainda): vamos reproduzir a divisão polinomial padrão, mas aproveitar que
é mônico para garantir que os coeficientes produzidos no quociente são inteiros. Concretamente, vamos anular o termo de maior grau de
subtraindo um múltiplo inteiro adequado de
; repetir esse passo reduz o grau do resto até ficar estritamente menor que
. Agora vamos fazer isso formalmente e mostrar que sempre termina em número finito de passos.
Passo 4
Caso trivial. Seja
. Se
então basta escolher
Nesse caso
ou
, e
, logo atende ao pedido. A partir de agora assumimos
.
Passo 5
Construção do primeiro passo da divisão. Escreva
com
e
. Como
é mônico de grau
, seu termo de maior grau é
. Considera o polinômio monômio
Multiplicando
por
obtemos um polinômio cujo termo de maior grau é
, pois
é mônico. Logo o polinômio
tem coeficientes inteiros (subtração de polinômios com coeficientes inteiros) e o termo
cancela, logo
.
Passo 6
Iteração. Se
paramos e tomamos
e
. Se
, repetimos o mesmo procedimento: escrevemos
com
e definimos
e então
Novamente
e
. Note que a cada passo o grau do resto diminui estritamente, porque o termo líder do resto é cancelado.
Passo 7
Terminação finita. Começando com grau inicial
, a sequência de graus dos restos forma uma sequência estritamente decrescente de inteiros não-negativos:
. Logo após no máximo
passos teremos um resto
com
. Portanto o processo termina em número finito de passos.
Passo 8
Construção do quociente e do resto finais. Se em
passos obtivemos
com
, definimos
Pela construção, em cada passo subtraímos
do polinômio atual, de modo que no final temos
ou seja
Os coeficientes de
e
são inteiros, porque cada
tem coeficientes inteiros e todas as operações foram em
. Além disso
ou
por construção.
Passo 9
Conclusão e observações finais — resumindo sem complicar: a divisão polinomial padrão funciona dentro de
sempre que o divisor é mônico, porque o cancelamento do termo líder usa multiplicadores inteiros (o coeficiente líder do dividendo), o que preserva integridade dos coeficientes. Isso garante existência de
com
e
(ou
).
Resposta
Existem
tais que
e
ou
.