Sejam f(x), g(x) \in \mathbb{Z}[x] e g(x)=b_{0}+b_{1} x+\cdots x^{m}, ou seja g(x) é mônico. Prove que existem q(x), r(x) \in \mathbb{Z}[x] tais que f(x)=q(x) g(x)+r(x) onde r(x)=0 ou \partial r \leq m.

Passo 1

O enunciado dá: f(x),g(x)\in\mathbb{Z}[x] e g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots +x^{m}, ou seja, g é polinômio de grau m cujo coeficiente líder é 1 (polinômio mônico). O que precisamos provar é: existem q(x),r(x)\in\mathbb{Z}[x] tais que
f(x)=q(x)g(x)+r(x),
onde r(x)=0 ou \deg r < m.

Passo 2

Primeiro vou definir e explicar os termos que vamos usar, devagarinho, como um colega que te segura pela mão:
  • Para um polinômio h(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_k x^k com c_k\neq 0, dizemos \deg h=k e chamamos c_k de coeficiente líder (ou coeficiente de maior grau).
  • Um polinômio é mônico quando seu coeficiente líder vale 1.
    Essas definições são importantes porque, ao multiplicar um inteiro pelo polinômio mônico g(x), o termo de maior grau resultante tem coeficiente inteiro igual ao inteiro multiplicador (não aparecem frações).

Passo 3

Ideia do método (sem formalizar ainda): vamos reproduzir a divisão polinomial padrão, mas aproveitar que g é mônico para garantir que os coeficientes produzidos no quociente são inteiros. Concretamente, vamos anular o termo de maior grau de f subtraindo um múltiplo inteiro adequado de g; repetir esse passo reduz o grau do resto até ficar estritamente menor que m. Agora vamos fazer isso formalmente e mostrar que sempre termina em número finito de passos.

Passo 4

Caso trivial. Seja \deg f=n. Se n<m então basta escolher
q(x)=0,\qquad r(x)=f(x).
Nesse caso r(x)\neq 0 ou =0, e \deg r=\deg f<n<m, logo atende ao pedido. A partir de agora assumimos \deg f\ge m.

Passo 5

Construção do primeiro passo da divisão. Escreva
f(x)=a_n x^n+\text{(termos de grau }<n),
com a_n\in\mathbb{Z} e n\ge m. Como g é mônico de grau m, seu termo de maior grau é x^m. Considera o polinômio monômio
t_1(x)=a_n x^{\,n-m}\in\mathbb{Z}[x].
Multiplicando t_1(x) por g(x) obtemos um polinômio cujo termo de maior grau é a_n x^n, pois g é mônico. Logo o polinômio
r_1(x):=f(x)-t_1(x)g(x)
tem coeficientes inteiros (subtração de polinômios com coeficientes inteiros) e o termo a_n x^n cancela, logo \deg r_1\le n-1.

Passo 6

Iteração. Se \deg r_1 < m paramos e tomamos q(x)=t_1(x) e r(x)=r_1(x). Se \deg r_1\ge m, repetimos o mesmo procedimento: escrevemos r_1(x)=a_{n_1}x^{n_1}+\cdots com n_1\ge m e definimos
t_2(x)=a_{n_1} x^{\,n_1-m}\in\mathbb{Z}[x],
e então
r_2(x):=r_1(x)-t_2(x)g(x).
Novamente r_2(x)\in\mathbb{Z}[x] e \deg r_2\le n_1-1. Note que a cada passo o grau do resto diminui estritamente, porque o termo líder do resto é cancelado.

Passo 7

Terminação finita. Começando com grau inicial n=\deg f, a sequência de graus dos restos forma uma sequência estritamente decrescente de inteiros não-negativos: n> \deg r_1\ge \deg r_2\ge\cdots. Logo após no máximo n-m+1 passos teremos um resto r_k com \deg r_k< m. Portanto o processo termina em número finito de passos.

Passo 8

Construção do quociente e do resto finais. Se em k passos obtivemos r_k com \deg r_k< m, definimos
q(x):=t_1(x)+t_2(x)+\cdots+t_k(x)\in\mathbb{Z}[x], \qquad r(x):=r_k(x)\in\mathbb{Z}[x].
Pela construção, em cada passo subtraímos t_i g do polinômio atual, de modo que no final temos
f(x)-\bigl(t_1(x)+\cdots+t_k(x)\bigr)g(x)=r_k(x),
ou seja
f(x)=q(x)g(x)+r(x).
Os coeficientes de q(x) e r(x) são inteiros, porque cada t_i tem coeficientes inteiros e todas as operações foram em \mathbb{Z}[x]. Além disso r(x)=0 ou \deg r < m por construção.

Passo 9

Conclusão e observações finais — resumindo sem complicar: a divisão polinomial padrão funciona dentro de \mathbb{Z}[x] sempre que o divisor é mônico, porque o cancelamento do termo líder usa multiplicadores inteiros (o coeficiente líder do dividendo), o que preserva integridade dos coeficientes. Isso garante existência de q,r\in\mathbb{Z}[x] com f=qg+r e \deg r<m (ou r=0).

Resposta

Existem q(x),r(x)\in\mathbb{Z}[x] tais que \displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x) e r(x)=0 ou \deg r < m.

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