\int_{-1}^{0}\left(2 x-e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{0}\left(2x-e^{x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função f(x)=2x-e^{x}.
  • Os limites de integração são a=-1 e b=0.
    A tarefa é encontrar o valor numérico (exato) dessa integral definida.

Passo 2

Estratégia e ideia principal (teorema fundamental do cálculo, explicado de forma prática).
  • Para calcular uma integral definida \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx, o Teorema Fundamental do Cálculo diz que basta encontrar uma primitiva F(x) de f(x) (ou seja, uma função F tal que F'(x)=f(x)) e avaliar a diferença F(b)-F(a).
  • Em fórmula:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a),
onde F'(x)=f(x).
  • Observação prática: a primitiva é só uma antiderivada; constantes adicionadas a F se cancelam quando fazemos F(b)-F(a).

Passo 3

Lineariade da integral e obtenção das primitivas simples.
  • A integral é soma (ou diferença) de termos, e a operação é linear:
\int_{-1}^{0}\left(2x-e^{x}\right)\,dx = \int_{-1}^{0}2x\,dx - \int_{-1}^{0}e^{x}\,dx.
  • Primitiva de cada termo:
    • Para 2x: sabemos que a derivada de x^{2} é 2x. Portanto uma primitiva de 2x é x^{2}.
    • Para e^{x}: sabemos que a derivada de e^{x} é e^{x}. Portanto uma primitiva de e^{x} é e^{x}.
  • Assim, uma primitiva comum de 2x-e^{x} é
F(x)=x^{2}-e^{x},
pois F'(x)=2x-e^{x}.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e calcular os valores.
  • Avaliar F nos limites 0 e -1:
F(0)=0^{2}-e^{0}=0-1=-1,
F(-1)=(-1)^{2}-e^{-1}=1-e^{-1}.
  • A integral é F(0)-F(-1):
\int_{-1}^{0}\left(2x-e^{x}\right)\,dx = F(0)-F(-1) = (-1) - \bigl(1-e^{-1}\bigr).
  • Simplificando:
(-1)-(1-e^{-1}) = -1-1+e^{-1} = e^{-1}-2.

Passo 5

Interpretação e aproximação numérica (opcional, para checar).
  • A forma exata é \displaystyle e^{-1}-2.
  • Aproximação usando e^{-1}\approx 0,367879:
e^{-1}-2 \approx 0,367879-2 = -1,632121.
Força — isto é tudo: foi direto porque quebramos em partes pequenas e usamos primitivas conhecidas.

Resposta

e^{-1}-2

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