\int_{-1}^{0}\left(2 x-e^{x}\right) d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é a função
. - Os limites de integração são
e .
A tarefa é encontrar o valor numérico (exato) dessa integral definida.
Passo 2
Estratégia e ideia principal (teorema fundamental do cálculo, explicado de forma prática).
- Para calcular uma integral definida
, o Teorema Fundamental do Cálculo diz que basta encontrar uma primitiva de (ou seja, uma função tal que ) e avaliar a diferença . - Em fórmula:
onde
.
- Observação prática: a primitiva é só uma antiderivada; constantes adicionadas a
se cancelam quando fazemos .
Passo 3
Lineariade da integral e obtenção das primitivas simples.
- A integral é soma (ou diferença) de termos, e a operação é linear:
- Primitiva de cada termo:
- Para
: sabemos que a derivada de é . Portanto uma primitiva de é . - Para
: sabemos que a derivada de é . Portanto uma primitiva de é .
- Para
- Assim, uma primitiva comum de
é
pois
.
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e calcular os valores.
- Avaliar
nos limites e :
- A integral é
:
- Simplificando:
Passo 5
Interpretação e aproximação numérica (opcional, para checar).
- A forma exata é
. - Aproximação usando
:
Força — isto é tudo: foi direto porque quebramos em partes pequenas e usamos primitivas conhecidas.