O intervalo de integração é \left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right].
A integranda é \operatorname{tg}^{3}(4x)\,\dfrac{\cos^{4}x}{\operatorname{sen}^{6}x}.
Há divisões por potências de \operatorname{sen} x e singularidades possíveis de \operatorname{tg}(4x) quando \cos(4x)=0.
O que se pede: determinar (avaliar) a integral definida acima — ou seja, verificar se ela converge e, se sim, calcular o valor; se não, concluir a divergência.
Passo 2
Procuremos possíveis pontos problemáticos (singularidades) da integranda no intervalo \left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right].
A factor \dfrac{\cos^{4}x}{\operatorname{sen}^{6}x} só é problemática quando \operatorname{sen} x=0. No intervalo dado temos \operatorname{sen} x>0 (pois x\in(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}]), então essa parte é finita e contínua no intervalo aberto; não cria singularidade interior.
A função \operatorname{tg}(4x)=\dfrac{\operatorname{sen}(4x)}{\cos(4x)} tem assíntotas verticais onde \cos(4x)=0, i.e. quando
Agora verifiquemos quais desses pontos caem no intervalo \left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right]. Tomando k=1 obtemos
x_0=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{8},
e \dfrac{\pi}{4}<\dfrac{3\pi}{8}<\dfrac{\pi}{2}. Logo existe uma singularidade interior em x_0=\dfrac{3\pi}{8} onde \cos(4x_0)=0 e \operatorname{tg}(4x) tem assíntota vertical. Portanto a integral é imprópria com singularidade no ponto interior x_0.
Passo 3
Para decidir convergência, examinamos o comportamento da integranda perto de x_0=\dfrac{3\pi}{8}. É suficiente estudar o comportamento assintótico de \operatorname{tg}^{3}(4x) próximo de x_0, porque \dfrac{\cos^{4}x}{\operatorname{sen}^{6}x} é contínua e finita em x_0.
Defina y=4x. Em x_0 temos y_0=4x_0=\dfrac{3\pi}{2}. Perto de y_0 podemos escrever y=y_0+z com z pequeno. Sabendo que \operatorname{sen} y_0=-1 e \cos y_0=0, a expansão principal de \tan y em torno de y_0 é
\tan y \approx \frac{\operatorname{sen} y_0}{\cos y}\approx \frac{-1}{\cos y}\approx -\frac{1}{z},
pois \cos(y_0+z)\approx z (derivada de \cos em y_0 é -\operatorname{sen} y_0=1). Portanto, para y próximo de y_0,
\tan y \sim -\frac{1}{z}, \qquad\text{ou seja}\qquad \tan(4x)\sim -\frac{1}{4(x-x_0)}.
Elevando à terceira potência obtemos o comportamento dominante
Agora multiplicamos pelo fator regular \dfrac{\cos^{4}x}{\operatorname{sen}^{6}x}. Como essa função é contínua em x_0 e \operatorname{sen} x_0,\cos x_0 não são zero (especificamente \operatorname{sen} x_0>0,\cos x_0>0 porque x_0\in(0,\tfrac{\pi}{2})), vale que existe uma constante positiva finita
porque o termo \frac{1}{(x-x_0)^{2}} diverge ao fazer x\to x_0^+. Logo \dfrac{1}{|x-x_0|^{3}} não é integrável (nem localmente à direita nem à esquerda) — o expoente 3 é maior do que 1 e, por consequência, leva à divergência.
Como a integranda tem comportamento assintótico proporcional a \dfrac{1}{(x-x_0)^{3}} (com constante não nula), existe constante K>0 tal que, para x próximo de x_0,
Pelo teste da comparação, a integral imprópria em torno de x_0 diverge em valor absoluto; em particular pelo fato de as integrais laterais (à esquerda e à direita de x_0) terem magnitude infinita, a integral definida original não converge no sentido usual de integral imprópria.
Passo 6
Comentário sobre sinal e “valor principal”: a divergência decorre da singularidade de ordem 3. Observando os sinais, a parte esquerda se diverge para +\infty e a parte direita para -\infty (ou vice‑versa dependendo do sinal do fator constante), de modo que a soma não é finite. Embora a simetria local possa fazer com que a soma como valor principal de Cauchy seja um número finito (por cancelamentos), a integral imprópria usual (definida como soma das duas limites unilaterais) não converge.