\int_{-1}{0}\left(x{3}-2 x+3\right) dx

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{0}\bigl(x^{3}-2x+3\bigr)\,dx
Aqui vamos usar as regras básicas de integração de polinômios, em que
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}
e
\int a\,dx = a\,x
para constantes a.

Passo 2

Encontrar uma antiderivada F(x) de x^{3}-2x+3. Usando as regras acima:
\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}, \quad \int (-2x)\,dx = -2\cdot\frac{x^2}{2} = -x^2, \quad \int 3\,dx = 3x.
Portanto, uma antiderivada é
F(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + 3x.

Passo 3

Avaliar F(x) nos limites de integração x=0 e x=-1:
F(0) = \frac{0^4}{4} - 0^2 + 3\cdot 0 = 0,
F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} - (-1)^2 + 3\cdot(-1) = \frac{1}{4} - 1 - 3 = \frac{1}{4} - 4 = -\frac{15}{4}.

Passo 4

Aplicar o teorema fundamental do cálculo, subtraindo F(0) - F(-1):
\int_{-1}^{0}\bigl(x^{3}-2x+3\bigr)\,dx = F(0) - F(-1) = 0 - \Bigl(-\frac{15}{4}\Bigr) = \frac{15}{4}.

Resposta

\frac{15}{4}

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