Encontre o valor da constante k para que o sistema seja:
(a) impossível.
(b) possível e determinado.
(c) possível e indetermidado. Nesse caso, encontre a solução geral do sistema.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema não homogêneo de três equações e três incógnitas
O conteúdo necessário é identificar para quais valores de k a matriz de coeficientes é invertível (determinante não nulo) e, quando for singular, examinar a consistência e, se for o caso, obter a solução geral.
Passo 2
Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
Logo, se k\neq -3 e k\neq2, temos \det(A)\neq0 e o sistema é possível e determinado (única solução).
Passo 3
Analisemos k=-3\). Então \(\det(A)=0\) e há risco de inconsistência. Substituindo \(k=-3\) nas equações:
\[\begin{cases} 2x+3y-3z=3,\\\ x+y-z=1,\\\ x-3y+3z=2. \end{cases}
Da segunda equação vem x=1-y+z\].
Na primeira:
\[2(1-y+z)+3y-3z=3\implies2-2y+2z+3y-3z=3\implies y-z=1.\]
Na terceira:
\[(1-y+z)-3y+3z=2\implies1-4y+4z=2\implies -4y+4z=1\implies y-z=-\tfrac14.\]
Obtivemos \(y-z=1 e y-z=-\tfrac14, contradição. Portanto, para k=-3 o sistema é impossível.
Passo 4
Analisemos k=2\). Então \(\det(A)=0\) e o sistema fica
\[\begin{cases} 2x+3y+2z=3,\\\ x+y-z=1,\\\ x+2y+3z=2. \end{cases}
Da segunda equação x=1-y+z\].
Substituindo na primeira:
\[2(1-y+z)+3y+2z=3\implies2-2y+2z+3y+2z=3\implies y+4z=1.\]
Substituindo na terceira:
\[(1-y+z)+2y+3z=2\implies1+y+4z=2\implies y+4z=1,\]
que é a mesma relação, mostrando consistência. O posto é 2 em ambas as matrizes e há infintas soluções. Tomando parâmetro \(t=z, obtemos
y=1-4t,\quad x=1-y+z=1-(1-4t)+t=5t.
Assim a solução geral é
(x,y,z)=(5t,\;1-4t,\;t),\quad t\in\mathbb{R}.
Resposta
(a) Impossível para k=-3.
(b) Possível e determinado para k\neq -3,2.
(c) Possível e indeterminado para k=2, com solução geral