Questão 4: ( 25 pontos) Considere o seguinte sistema linear não homogêneo:
\left\{\begin{array}{r} 2 x+3 y+k z=3 \\\ x+y-z=1 \\\ x+k y+3 z=2 \end{array}\right.
Encontre o valor da constante k para que o sistema seja:
(a) impossível.
(b) possível e determinado.
(c) possível e indetermidado. Nesse caso, encontre a solução geral do sistema.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema não homogêneo de três equações e três incógnitas
\begin{cases} 2x+3y+kz=3,\\\ x+y-z=1,\\\ x+ky+3z=2. \end{cases}
O conteúdo necessário é identificar para quais valores de k a matriz de coeficientes é invertível (determinante não nulo) e, quando for singular, examinar a consistência e, se for o caso, obter a solução geral.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & k\\\\ 1 & 1 & -1\\\\ 1 & k & 3 \end{pmatrix}.
Usando a regra de Sarrus ou cofactores,
\det(A) =2\bigl(1\cdot3-(-1)\cdot k\bigr) -3\bigl(1\cdot3-(-1)\cdot1\bigr) +k\bigl(1\cdot k-1\cdot1\bigr)
=2(3+k)-3(3+1)+k(k-1) =6+2k-12+k^2-k =k^2+k-6 =(k+3)(k-2).
Logo, se k\neq -3 e k\neq2, temos \det(A)\neq0 e o sistema é possível e determinado (única solução).

Passo 3

Analisemos k=-3\). Então \(\det(A)=0\) e há risco de inconsistência. Substituindo \(k=-3\) nas equações: \[\begin{cases} 2x+3y-3z=3,\\\ x+y-z=1,\\\ x-3y+3z=2. \end{cases}
Da segunda equação vem x=1-y+z\]. Na primeira: \[2(1-y+z)+3y-3z=3\implies2-2y+2z+3y-3z=3\implies y-z=1.\] Na terceira: \[(1-y+z)-3y+3z=2\implies1-4y+4z=2\implies -4y+4z=1\implies y-z=-\tfrac14.\] Obtivemos \(y-z=1 e y-z=-\tfrac14, contradição. Portanto, para k=-3 o sistema é impossível.

Passo 4

Analisemos k=2\). Então \(\det(A)=0\) e o sistema fica \[\begin{cases} 2x+3y+2z=3,\\\ x+y-z=1,\\\ x+2y+3z=2. \end{cases}
Da segunda equação x=1-y+z\]. Substituindo na primeira: \[2(1-y+z)+3y+2z=3\implies2-2y+2z+3y+2z=3\implies y+4z=1.\] Substituindo na terceira: \[(1-y+z)+2y+3z=2\implies1+y+4z=2\implies y+4z=1,\] que é a mesma relação, mostrando consistência. O posto é 2 em ambas as matrizes e há infintas soluções. Tomando parâmetro \(t=z, obtemos
y=1-4t,\quad x=1-y+z=1-(1-4t)+t=5t.
Assim a solução geral é
(x,y,z)=(5t,\;1-4t,\;t),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) Impossível para k=-3.
(b) Possível e determinado para k\neq -3,2.
(c) Possível e indeterminado para k=2, com solução geral
(x,y,z)=(5t,\;1-4t,\;t),\quad t\in\mathbb{R}.

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