Questão 2: Seja A uma matriz quadrada de ordem 6 \operatorname{com} \operatorname{det} A=-3.
(a) (10 pontos) Calcule o determinante da matriz M=-\frac{1}{3} A^{-1} A^{t} A^{8}.
(b) (5 pontos) M é inversível? Justifique.
(c) ( 10 pontos) Calcule o determinante da matriz N obtida de A através da aplicação das seguintes operações elementares:
A \xrightarrow{L_{1} \longrightarrow L_{1}-5 L_{4}} B \xrightarrow{L_{4} \longleftrightarrow L_{6}} C \xrightarrow{L_{4} \longrightarrow 2 L_{4}} D \xrightarrow{L_{5} \longrightarrow L_{5}-L_{2}} N
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem 6 com \det(A)=-3 e pede:
Calcular \det(M) para
M = -\tfrac13\,A^{-1}A^{t}A^{8}.
Dizer se M é inversível.
Calcular o determinante da matriz N obtida de A por uma sequência de operações elementares de linha.
O conteúdo usado será: propriedades de determinante (produto, potência, inversa, transposta, escalar e operações de linha).