Questão 2: Seja A uma matriz quadrada de ordem 6 \operatorname{com} \operatorname{det} A=-3.
(a) (10 pontos) Calcule o determinante da matriz M=-\frac{1}{3} A^{-1} A^{t} A^{8}.
(b) (5 pontos) M é inversível? Justifique.
(c) ( 10 pontos) Calcule o determinante da matriz N obtida de A através da aplicação das seguintes operações elementares:
A \xrightarrow{L_{1} \longrightarrow L_{1}-5 L_{4}} B \xrightarrow{L_{4} \longleftrightarrow L_{6}} C \xrightarrow{L_{4} \longrightarrow 2 L_{4}} D \xrightarrow{L_{5} \longrightarrow L_{5}-L_{2}} N

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem 6 com \det(A)=-3 e pede:
  1. Calcular \det(M) para
M = -\tfrac13\,A^{-1}A^{t}A^{8}.
  1. Dizer se M é inversível.
  2. Calcular o determinante da matriz N obtida de A por uma sequência de operações elementares de linha.
O conteúdo usado será: propriedades de determinante (produto, potência, inversa, transposta, escalar e operações de linha).

Passo 2

Para (a), use que se X é 6\times6 então
\det\bigl(cX\bigr) = c^{6}\det(X),\quad \det(XY)=\det(X)\det(Y),\quad \det(X^{-1})=\tfrac1{\det(X)},\quad \det(X^{t})=\det(X),\quad \det(X^{k})=(\det(X))^{k}.
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\det(M) =\det\Bigl(-\tfrac13A^{-1}A^{t}A^{8}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac13\Bigr)^{6}\det(A^{-1})\det(A^{t})\det(A^{8}).
Sabendo \det(A)=-3, temos \det(A^{-1})=-\tfrac13, \det(A^{t})=-3 e \det(A^{8})=(-3)^{8}=3^{8}. Assim,
\det(M) =\tfrac{1}{3^{6}}\times\Bigl(-\tfrac13\Bigr)\times(-3)\times3^{8} =\tfrac{1}{729}\times\tfrac{-1}{3}\times(-3)\times6561 =\tfrac{6561}{729}=9.

Passo 3

Para (b), uma matriz é inversível se, e somente se, seu determinante for não nulo. Como \det(M)=9\neq0, concluímos que M é inversível.

Passo 4

Em (c), acompanhe o efeito de cada operação em \det:
  • Adicionar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
  • Trocar duas linhas muda o sinal.
  • Multiplicar uma linha por 2 multiplica o determinante por 2.
Aplicando em sequência a partir de \det(A)=-3:
  1. L_{1}\to L_{1}-5L_{4} mantém -3.
  2. L_{4}\leftrightarrow L_{6} inverte o sinal para +3.
  3. L_{4}\to2L_{4} multiplica por 2 dando 6.
  4. L_{5}\to L_{5}-L_{2} não altera, ficando \det(N)=6.

Resposta

(a) \;9
(b) Sim, pois \det(M)=9\neq0.
(c) \;6

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