\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2 x\right) d x=

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2 x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é o polinômio \,x^{3}-2x.
  • Os limites de integração são a=-1 (limite inferior) e b=2 (limite superior).
  • A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida entre esses limites.

Passo 2

Estratégia: usar que a integral é linear, isto é, somas e constantes podem sair da integral. Escrevendo isso em fórmulas:
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2x\right)\,dx = \int_{-1}^{2}x^{3}\,dx \;-\; 2\int_{-1}^{2}x\,dx.
Aqui foi usada a propriedade de linearidade:
\int_a^b (f+g)=\int_a^b f+\int_a^b g \qquad\text{e}\qquad \int_a^b c\,f = c\int_a^b f,
onde c é constante.

Passo 3

Regra básica que vamos usar (regra do poder / antiderivada):
para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Essa fórmula vem de reverter a diferenciação: \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^n.
Também usamos que a integral definida de a até b pode ser obtida a partir de uma antiderivada F:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a),
onde F'(x)=f(x). Isso é o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 4

Achar uma antiderivada F(x) de f(x)=x^{3}-2x aplicando a regra do poder termo a termo:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C, \qquad \int -2x\,dx = -2\cdot\frac{x^{2}}{2} + C = -x^{2}+C.
Portanto uma antiderivada é
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-x^{2}.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2x\right)\,dx = F(2)-F(-1).

Passo 6

Calcular F(2) e F(-1) passo a passo:
F(2)=\frac{2^{4}}{4}-2^{2}=\frac{16}{4}-4=4-4=0.
F(-1)=\frac{(-1)^{4}}{4}-(-1)^{2}=\frac{1}{4}-1=\,-\frac{3}{4}.

Passo 7

Subtrair os valores:
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2x\right)\,dx = F(2)-F(-1)=0-\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{4}.

Passo 8

Checagem rápida (dica didática): a função f(x)=x^{3}-2x é ímpar porque f(-x)=-f(x). Logo \int_{-1}^{1} f(x)\,dx=0. Assim
\int_{-1}^{2} f(x)\,dx = \int_{-1}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{2} f(x)\,dx = 0 + \int_{1}^{2} f(x)\,dx,
e avaliando \int_{1}^{2} f(x)\,dx com a mesma antiderivada também resulta em \tfrac{3}{4}, confirmando o cálculo anterior.

Passo 9

Exemplo extra (prático, para fixar a regra do poder): calcular
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
Antiderivada: \dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando de 0 a 1 \dfrac{1^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}=\dfrac{1}{3}. Pequeno exemplo que mostra a mesma mecânica que usei acima.

Resposta

\dfrac{3}{4}

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