\int_{0}^{3} \int_{-2}^{0}\left(x^{2} y-2 x y\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{3} \int_{-2}^{0}\left(x^{2}y-2xy\right)\,dy\,dx.
Informações dadas e o que precisamos calcular:
  • A região de integração é um retângulo com x variando em [0,3] e y variando em [-2,0].
  • A função integranda é f(x,y)=x^{2}y-2xy.
  • Precisamos calcular a integral iterada, primeiro em y (de -2 a 0) e depois em x (de 0 a 3).

Passo 2

Estratégia e conceitos usados (explicação didática):
  • Para integrar \int_{0}^{3}\int_{-2}^{0} (x^{2}y-2xy)\,dy\,dx fazemos a integral interna em y tratando x como constante, porque na integração em y o x não varia.
  • Usamos a linearidade da integral: \int (a(y)+b(y))\,dy=\int a(y)\,dy+\int b(y)\,dy e \int c\cdot g(y)\,dy=c\int g(y)\,dy quando c é constante em relação a y.
  • A primitiva (antiderivada) básica que precisamos lembrar é \int y\,dy=\dfrac{y^{2}}{2}. Isso vale para qualquer constante multiplicativa em frente de y.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{-2}^{0}\left(x^{2}y-2xy\right)\,dy
pela linearidade:
= x^{2}\int_{-2}^{0} y\,dy - 2x\int_{-2}^{0} y\,dy.
Perceba que \int_{-2}^{0} y\,dy é a mesma em ambos os termos, então podemos fatorar:
= (x^{2}-2x)\int_{-2}^{0} y\,dy.
Agora usamos a primitiva de y:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2},
então
\int_{-2}^{0} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{y=-2}^{y=0} = \frac{0^{2}}{2}-\frac{(-2)^{2}}{2} = 0 - \frac{4}{2} = -2.
Logo a integral interna vale
(x^{2}-2x)\cdot(-2) = -2x^{2}+4x.

Passo 4

Agora substituímos o resultado da integral interna na integral externa em x:
\int_{0}^{3}\left(-2x^{2}+4x\right)\,dx.
Explicando as antiderivadas necessárias:
  • \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}.
  • \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}.
    Aplicando essas fórmulas com os coeficientes:
\int\left(-2x^{2}+4x\right)\,dx = -2\cdot\frac{x^{3}}{3} + 4\cdot\frac{x^{2}}{2} = -\frac{2}{3}x^{3} + 2x^{2}.

Passo 5

Avaliar a primitiva entre 0 e 3:
\left.-\frac{2}{3}x^{3}+2x^{2}\right|_{0}^{3} = \left(-\frac{2}{3}\cdot 3^{3} + 2\cdot 3^{2}\right) - \left(-\frac{2}{3}\cdot 0^{3} + 2\cdot 0^{2}\right).
Calcule os termos:
-\frac{2}{3}\cdot 3^{3} = -\frac{2}{3}\cdot 27 = -18, \qquad 2\cdot 3^{2} = 2\cdot 9 = 18,
portanto a diferença é -18+18 - 0 = 0.

Resposta

0

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