\int_{0}^{1} \int_{1}^{2} x y e^{x} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} x\,y\,e^{x}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x\,y\,e^{x}.
  • A integração interna (mais próxima do dy) é em y com limites y=1 até y=2.
  • A integração externa é em x com limites x=0 até x=1.
    A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral dupla?

Passo 2

Estratégia: observar que na integral interna estamos integrando em relação a y, então quaisquer fatores que dependam só de x podem ser tratados como constantes durante essa integração. No integrando x\,y\,e^{x} os fatores que dependem apenas de x são x e e^{x}; portanto, para a integral em y podemos escrever x\,e^{x} fora da integral em y. Essa é uma técnica padrão para integrais múltiplas: integrar primeiro em uma variável mantendo as demais fixas.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{1}^{2} x\,y\,e^{x}\,dy = x\,e^{x}\int_{1}^{2} y\,dy.
Agora calcular \int_{1}^{2} y\,dy. Usar a primitiva de y, que é \tfrac{1}{2}y^{2}. Então
\int_{1}^{2} y\,dy = \left.\tfrac{1}{2}y^{2}\right|_{1}^{2} = \tfrac{1}{2}(2^{2}-1^{2})=\tfrac{1}{2}(4-1)=\tfrac{3}{2}.
Substituindo de volta:
\int_{1}^{2} x\,y\,e^{x}\,dy = x\,e^{x}\cdot \tfrac{3}{2} = \tfrac{3}{2}\,x\,e^{x}.

Passo 4

Agora a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} x\,y\,e^{x}\,dy\,dx = \int_{0}^{1} \tfrac{3}{2}\,x\,e^{x}\,dx = \tfrac{3}{2}\int_{0}^{1} x\,e^{x}\,dx.
Explicando a propriedade usada: é permitido tirar a constante \tfrac{3}{2} para fora da integral porque é independente de x.

Passo 5

Agora calcular \int_{0}^{1} x\,e^{x}\,dx. Usamos integração por partes. Regra de integração por partes: para primitivação,
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhemos u e dv de forma conveniente. Aqui escolhemos
u = x,\qquad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = e^{x}.
Aplicando:
\int x\,e^{x}\,dx = x\,e^{x} - \int e^{x}\,dx = x\,e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1)+C.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x\,e^{x}\,dx = \left.e^{x}(x-1)\right|_{0}^{1} = e^{1}(1-1) - e^{0}(0-1).
Calcular cada termo:
e^{1}(1-1)=e\cdot 0 = 0,\qquad e^{0}(0-1)=1\cdot(-1)=-1.
Portanto
\int_{0}^{1} x\,e^{x}\,dx = 0 - (-1) = 1.

Passo 7

Voltar à integral original com o fator \tfrac{3}{2}:
\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} x\,y\,e^{x}\,dy\,dx = \tfrac{3}{2}\cdot 1 = \tfrac{3}{2}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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