\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2}(x+3 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2}(x+3 y)\, d y\, d x.
Informações dadas:
\text{domínio: } x\in[-1,1],\quad y\in[0,2],í
\text{integrando: } x+3y.
Pergunta: obter o valor numérico da integral dupla sobre esse retângulo.

Passo 2

Plano de resolução (explicado de maneira didática): vamos calcular a integral iteradamente, primeiro integrando em relação a \,y (a integral interna) e depois em relação a \,x (a integral externa). Isto é permitido porque estamos integrando uma função contínua num retângulo — podemos trocar a ordem ou integrar por partes sucessivas. Também usaremos propriedades básicas de integrais: linearidade (a integral da soma é a soma das integrais) e fator constante (um fator multiplicativo pode sair da integral). Ou seja, para facilitar:
\int_{0}^{2}(x+3y)\,dy=\int_{0}^{2}x\,dy+\int_{0}^{2}3y\,dy.
Aqui \,x é tratado como constante quando integroumos em relação a \,y.

Passo 3

Calcule a integral interna passo a passo:
\int_{0}^{2}x\,dy = x\cdot y\Big|_{0}^{2} = x\cdot 2 - x\cdot 0 = 2x.
Explicação: ao integrar uma constante (em relação a \,y), a antiderivada é a constante vezes \,y.

Passo 4

Ainda para a integral interna:
\int_{0}^{2}3y\,dy = 3\cdot\int_{0}^{2}y\,dy = 3\cdot\left(\frac{y^{2}}{2}\right)\Big|_{0}^{2} = 3\cdot\frac{2^{2}}{2} - 0 = 3\cdot\frac{4}{2} = 3\cdot 2 = 6.
Explicação: a antiderivada de \,y é \,y^{2}/2. O fator 3 sai da integral por ser constante.

Passo 5

Somando os resultados da integral interna:
\int_{0}^{2}(x+3y)\,dy = 2x + 6.
Portanto a integral dupla vira uma integral simples em x:
\int_{-1}^{1}(2x+6)\,dx.

Passo 6

Separe novamente por linearidade:
\int_{-1}^{1}(2x+6)\,dx = \int_{-1}^{1}2x\,dx + \int_{-1}^{1}6\,dx.

Passo 7

Calcule cada termo:
\int_{-1}^{1}2x\,dx = 2\cdot\int_{-1}^{1}x\,dx = 2\cdot\left(\frac{x^{2}}{2}\right)\Big|_{-1}^{1} = x^{2}\Big|_{-1}^{1} = 1^{2}-(-1)^{2} = 1-1 = 0.
Comentário didático: aqui também poderíamos ter observado que x é função ímpar e o intervalo é simétrico em torno de zero, então sua integral é zero — mesmo resultado.

Passo 8

Calcule o segundo termo:
\int_{-1}^{1}6\,dx = 6\cdot x\Big|_{-1}^{1} = 6\cdot(1-(-1)) = 6\cdot 2 = 12.

Passo 9

Somando os termos:
\int_{-1}^{1}2x\,dx + \int_{-1}^{1}6\,dx = 0 + 12 = 12.
Portanto o valor da integral dupla é 12.

Resposta

12

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