\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(1+x+y+x y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(1+x+y+xy)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O domínio de integração é o quadrado [0,1]\times[0,1], pois x varia de 0 a 1 e y varia de 0 a 1.
  • A função integrando é 1+x+y+xy.
  • Precisamos avaliar a integral iterada com a integração em y primeiro e depois em x.

Passo 2

Estratégia: como a integral é sobre um retângulo, podemos integrar em y mantendo x como constante (regra básica de integrais iteradas). Vamos integrar termo a termo, usando as primitivas usuais:
\int 1\,dy = y,\qquad \int x\,dy = x y,\qquad \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2},\qquad \int x y\,dy = x\frac{y^{2}}{2}.
Portanto a primitiva em relação a y da função 1+x+y+xy é
\int(1+x+y+xy)\,dy = y + x y + \frac{y^{2}}{2} + x\frac{y^{2}}{2}.
Simplifico a primitiva fatorando (1+x):
y + x y + \frac{y^{2}}{2} + x\frac{y^{2}}{2} = (1+x)\left(y + \frac{y^{2}}{2}\right).
Agora avalio a primitiva nos limites y=0 e y=1:
\left.(1+x)\left(y + \frac{y^{2}}{2}\right)\right|_{y=0}^{y=1} = (1+x)\left(1 + \frac{1}{2}\right) - 0 = \frac{3}{2}(1+x).
Logo a integral interna (em y) resulta em \frac{3}{2}(1+x).

Passo 3

Passo seguinte: integrar em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{3}{2}(1+x)\,dx = \frac{3}{2}\left(\int_{0}^{1}1\,dx + \int_{0}^{1}x\,dx\right).
Calculo as integrais simples:
\int_{0}^{1}1\,dx = 1,\qquad \int_{0}^{1}x\,dx=\frac{1}{2}.
Portanto
\frac{3}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{4}.

Passo 4

Cheque rápido (opcional, mas bom para prova): se você trocasse a ordem e integrasse primeiro em x, obteria o mesmo por simetria — isso confirma que o cálculo está coerente.

Passo 5

Dica para a prova: ao ver polinômios na integral dupla sobre retângulos, integre termo a termo, trate a variável não integrada como constante e tente fatorar para simplificar cálculos mentais. Respira, faz passo a passo, e confia no resultado: normalmente sai numa conta curta como aqui.

Resposta

\tfrac{9}{4}

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