O domínio de integração é o quadrado [0,1]\times[0,1], pois x varia de 0 a 1 e y varia de 0 a 1.
A função integrando é 1+x+y+xy.
Precisamos avaliar a integral iterada com a integração em y primeiro e depois em x.
Passo 2
Estratégia: como a integral é sobre um retângulo, podemos integrar em y mantendo x como constante (regra básica de integrais iteradas). Vamos integrar termo a termo, usando as primitivas usuais:
\int 1\,dy = y,\qquad \int x\,dy = x y,\qquad \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2},\qquad \int x y\,dy = x\frac{y^{2}}{2}.
Portanto a primitiva em relação a y da função 1+x+y+xy é
\int(1+x+y+xy)\,dy = y + x y + \frac{y^{2}}{2} + x\frac{y^{2}}{2}.
Simplifico a primitiva fatorando (1+x):
y + x y + \frac{y^{2}}{2} + x\frac{y^{2}}{2} = (1+x)\left(y + \frac{y^{2}}{2}\right).
Cheque rápido (opcional, mas bom para prova): se você trocasse a ordem e integrasse primeiro em x, obteria o mesmo por simetria — isso confirma que o cálculo está coerente.
Passo 5
Dica para a prova: ao ver polinômios na integral dupla sobre retângulos, integre termo a termo, trate a variável não integrada como constante e tente fatorar para simplificar cálculos mentais. Respira, faz passo a passo, e confia no resultado: normalmente sai numa conta curta como aqui.