204. Se A=\left[ \begin{array}{ll} 1 & 7 \\ 2 & 6 \end{array}\right], B=\left[ \begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{array}\right] e C=\left[ \begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right] .
]
determine X em cada uma das equaçōes abaixo:
X+A=\frac{1}{2}(B-C)

Passo 1

O enunciado dá as matrizes (peguei estes valores do enunciado):
A=\begin{pmatrix}1 & 7 \\[4pt] 2 & 6\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 4 & 3\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.
A equação que devemos resolver é
X + A = \tfrac{1}{2}\bigl(B - C\bigr).
O que se pede: determinar a matriz X que satisfaz essa igualdade.]

Passo 2

Isolamento de X. Em álgebra de matrizes podemos somar ou subtrair a mesma matriz em ambos os lados da equação (assim como em números). Subtraindo A de ambos os lados obtemos a fórmula para X:
X = \tfrac{1}{2}\bigl(B - C\bigr) - A.
Explicando: multiplicação por escalar e subtração entre matrizes são feitas elemento a elemento, então basta computar o lado direito elemento a elemento.

Passo 3

Calcular B-C elemento a elemento. Subtração de matrizes: (B-C)_{ij}=B_{ij}-C_{ij}. Então
B-C=\begin{pmatrix} 2-0 & 1-2 \\[4pt] 4-2 & 3-0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & -1 \\[4pt] 2 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular \tfrac{1}{2}(B-C) multiplicando cada entrada por \tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}(B-C)=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2}\cdot 2 & \tfrac{1}{2}\cdot(-1) \\[4pt] \tfrac{1}{2}\cdot 2 & \tfrac{1}{2}\cdot 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{1}{2} \\[4pt] 1 & \tfrac{3}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora subtrair A de \tfrac{1}{2}(B-C) elemento a elemento para obter X. Lembre que (M-N)_{ij}=M_{ij}-N_{ij}. Então:
X_{11}=1-1=0, \qquad X_{12}=-\tfrac{1}{2}-7=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{14}{2}=-\tfrac{15}{2},
X_{21}=1-2=-1, \qquad X_{22}=\tfrac{3}{2}-6=\tfrac{3}{2}-\tfrac{12}{2}=-\tfrac{9}{2}.

Passo 6

Dica rápida para a prova: faça operações matriciais elemento a elemento, usando frações quando necessário. Aqui bastaram uma subtração, uma multiplicação por escalar e outra subtração — tudo direto. Se quiser conferir, some X com A elemento a elemento e verifique que volta a dar \tfrac{1}{2}(B-C).

Resposta

X=\begin{pmatrix} 0 & -\tfrac{15}{2} \\[6pt] -1 & -\tfrac{9}{2} \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados