Sabendo que a derivada de e^{x} e^{e} e^{x}, ou seja \left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x} e que a derivada de seno é cosseno, ou seja, \sin ^{\prime}(x)=\cos (x), calcule a derivada da funçio
g(x)=e^{x} \sin (x)+(\sin (x))^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(x)=e^{x}\sin(x)+\bigl(\sin(x)\bigr)^{2}.
O conteúdo necessário envolve a regra do produto para derivadas, a regra da cadeia e as derivadas básicas \bigl(e^{x}\bigr)'=e^{x} e \bigl(\sin(x)\bigr)'=\cos(x).

Passo 2

Derivando o primeiro termo e^{x}\sin(x) pela regra do produto, se definirmos
u(x)=e^{x},\quad v(x)=\sin(x),
então
u'(x)=e^{x},\quad v'(x)=\cos(x),
e
\bigl(u(x)v(x)\bigr)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =e^{x}\sin(x)+e^{x}\cos(x).

Passo 3

Derivando o segundo termo \bigl(\sin(x)\bigr)^{2} pela regra da cadeia, chamamos
w(x)=\sin(x),\quad h(w)=w^{2}.
Temos
w'(x)=\cos(x),\quad h'(w)=2w,
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\bigl(h(w(x))\bigr)'=h'(w(x))\cdot w'(x) =2\sin(x)\cdot\cos(x).

Passo 4

Somando as derivadas dos dois termos de g(x), obtemos
g'(x) =\bigl(e^{x}\sin(x)\bigr)'+\bigl(\sin(x)^{2}\bigr)' =\bigl(e^{x}\sin(x)+e^{x}\cos(x)\bigr)+2\sin(x)\cos(x).

Resposta

g'(x)=e^{x}\sin(x)+e^{x}\cos(x)+2\sin(x)\cos(x).

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