\int \operatorname{cosech}^{2} u d u=-\operatorname{cotgh} u+c

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{cosech}^{2}u \,\mathrm{d}u.
O que precisamos é reconhecer uma derivada conhecida de funções hiperbólicas que envolva \operatorname{cosech}^{2}u.

Passo 2

Lembramos que a derivada da função \coth u é
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\bigl(\coth u\bigr) =-\operatorname{cosech}^{2}u.
Ou seja, podemos escrever
\operatorname{cosech}^{2}u=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\bigl(\coth u\bigr).

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \operatorname{cosech}^{2}u \,\mathrm{d}u =\int -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\bigl(\coth u\bigr)\,\mathrm{d}u =-\coth u + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

-\coth u + C

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