\int \frac{d u}{u \sqrt{u^{2}-a^{2}}}=\frac{1}{a} \operatorname{arcsec}\left|\frac{u}{a}\right|+c

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{du}{u\,\sqrt{u^{2}-a^{2}}}.
O conteúdo aqui é técnica de substituição trigonométrica, pois aparece uma expressão do tipo \sqrt{u^{2}-a^{2}}. Vamos escolher uma substituição que torne esse radical simples.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica
u = a\,\operatorname{sec}\theta,
onde assumimos \lvert u\rvert\ge a para que \operatorname{sec}\theta\ge1. Então
du = a\,\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \sqrt{u^{2}-a^{2}} = \sqrt{a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta - a^{2}} = a\,\tan\theta.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{du}{u\,\sqrt{u^{2}-a^{2}}} = \int \frac{a\,\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{(a\operatorname{sec}\theta)\,(a\tan\theta)} = \int \frac{a\,\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{a^{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta}\,d\theta = \int \frac{1}{a}\,d\theta = \frac{1}{a}\,\theta + C.

Passo 4

Agora voltamos à variável u. Como u = a\operatorname{sec}\theta, temos
\theta = \arcsec\Bigl|\frac{u}{a}\Bigr|.
Logo a integral original fica
\frac{1}{a}\,\theta + C = \frac{1}{a}\,\arcsec\Bigl|\frac{u}{a}\Bigr| + C.

Resposta

\int \frac{du}{u\,\sqrt{u^{2}-a^{2}}} = \frac{1}{a}\,\arcsec\Bigl|\frac{u}{a}\Bigr| + C.

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