Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas e observações imediatas: a variável de integração é . Para que
seja real precisamos de
(isso é só para notar o domínio; a primitiva válida será expressa em termos de
). O objetivo é encontrar uma antiderivada
tal que
.
Informações dadas e observações imediatas: a variável de integração é
Passo 2
Escolha do método (substituição simples) e justificativa: como aparece
no denominador, faz sentido transformar a expressão em potências de uma única variável para usar a regra do poder na integração. Vamos usar a substituição
Explicando a ideia da substituição: se
, então
e substituímos todas as ocorrências de
e
por expressões em
. Aqui
, o que simplifica.
Passo 3
Calcule
e expresse
em função de
: como
, temos
Agora substituímos na integral original.
Passo 4
Reescrevendo a integral em
: substituindo
,
e
, obtemos
Aqui usamos a propriedade de potências
e
.
Passo 5
Integração termo a termo aplicando a regra do poder: a regra do poder diz que, para
,
Aplicando com
e
:
Somando as duas primitivas,
Passo 6
Volta para a variável
(substituição inversa) e simplificação: como
, obtemos
Podemos também fatorar
se quisermos uma forma alternativa:
Passo 7
Verificação rápida (diferenciando a primitiva encontrada) para ganhar confiança: derivando
obtemos
que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta.