\int \frac{x}{\sqrt{x+3}} \mathrm{~d} x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x+3}}\,\mathrm{d}x.
Informações dadas e observações imediatas: a variável de integração é x. Para que \sqrt{x+3} seja real precisamos de x>-3 (isso é só para notar o domínio; a primitiva válida será expressa em termos de (x+3)^{1/2}). O objetivo é encontrar uma antiderivada F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+3}}.

Passo 2

Escolha do método (substituição simples) e justificativa: como aparece \sqrt{x+3} no denominador, faz sentido transformar a expressão em potências de uma única variável para usar a regra do poder na integração. Vamos usar a substituição
u = x + 3.
Explicando a ideia da substituição: se u=g(x), então \mathrm{d}u=g'(x)\,\mathrm{d}x e substituímos todas as ocorrências de x e \mathrm{d}x por expressões em u. Aqui g'(x)=1, o que simplifica.

Passo 3

Calcule \mathrm{d}u e expresse x em função de u: como u=x+3, temos
\mathrm{d}u=\mathrm{d}x \qquad\text{e}\qquad x=u-3.
Agora substituímos na integral original.

Passo 4

Reescrevendo a integral em u: substituindo x=u-3, \sqrt{x+3}=\sqrt{u}=u^{1/2} e \mathrm{d}x=\mathrm{d}u, obtemos
\int \frac{x}{\sqrt{x+3}}\,\mathrm{d}x = \int \frac{u-3}{u^{1/2}}\,\mathrm{d}u = \int \bigl(u^{1/2}-3u^{-1/2}\bigr)\,\mathrm{d}u.
Aqui usamos a propriedade de potências u/u^{1/2}=u^{1/2} e 3/u^{1/2}=3u^{-1/2}.

Passo 5

Integração termo a termo aplicando a regra do poder: a regra do poder diz que, para n\neq -1,
\int u^n\,\mathrm{d}u=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=\tfrac{1}{2} e n=-\tfrac{1}{2}:
\int u^{1/2}\,\mathrm{d}u=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2},
\int -3u^{-1/2}\,\mathrm{d}u=-3\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2}=-3\cdot 2\,u^{1/2}=-6u^{1/2}.
Somando as duas primitivas,
\int \bigl(u^{1/2}-3u^{-1/2}\bigr)\,\mathrm{d}u=\frac{2}{3}u^{3/2}-6u^{1/2}+C.

Passo 6

Volta para a variável x (substituição inversa) e simplificação: como u=x+3, obtemos
\frac{2}{3}(x+3)^{3/2}-6(x+3)^{1/2}+C.
Podemos também fatorar (x+3)^{1/2} se quisermos uma forma alternativa:
\frac{2}{3}(x+3)^{3/2}-6(x+3)^{1/2} =(x+3)^{1/2}\!\left(\frac{2}{3}(x+3)-6\right) =\frac{2}{3}(x-6)(x+3)^{1/2}+C.

Passo 7

Verificação rápida (diferenciando a primitiva encontrada) para ganhar confiança: derivando
F(x)=\frac{2}{3}(x+3)^{3/2}-6(x+3)^{1/2}
obtemos
F'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}(x+3)^{1/2}-6\cdot\frac{1}{2}(x+3)^{-1/2} =(x+3)^{1/2}-3(x+3)^{-1/2}=\frac{x}{(x+3)^{1/2}},
que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}(x+3)^{3/2}-6(x+3)^{1/2}+C

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