∫ sen 4 x · cos ^{3} 4 x dx
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas: a integranda é o produto de
por
. Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Por que escolher um método por substituição? Aqui a integranda tem a forma “uma função trigonométrica elevada a uma potência” vezes outra função trigonométrica que se parece com a derivada do argumento interno. Uma ideia geral útil: se você ver
e
juntos, vale tentar
, porque a derivada de
envolve
(pela regra da cadeia). Vou explicar passo a passo a substituição e por que ela resolve a integral de forma simples.
Passo 3
Fazemos a substituição
. Agora calcule
. Usando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
Portanto, em forma diferencial,
Isolando
obtemos
Essa expressão é perfeita porque substitui exatamente o fator
presente na integral, e
vira
.
Passo 4
Agora substituímos na integral original. Temos
Usando
e
, a integral transforma-se em
Passo 5
Integramos
usando a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que estava fora, obtemos
Passo 6
Voltando à variável original
(substituindo
), a primitiva fica
É sempre bom checar rapidamente: derivando
pelo teorema da cadeia obtemos
que é exatamente a integranda, então a primitiva está correta.
Passo 7
Observação final e dica para a prova: quando ver produtos do tipo
ou
, pense em substituir pela função cujo expoente é
(aqui
), porque a derivada dessa função geralmente traz o outro fator trigonométrico multiplicado por uma constante, permitindo a substituição direta. Isso economiza tempo e evita manipulações trigonométricas longas.