∫ sen 4 x · cos ^{3} 4 x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen} 4x \cdot \cos^{3}4x \, dx.
Informações relevantes dadas: a integranda é o produto de \operatorname{sen} 4x por \cos^{3}4x. Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen} 4x\cdot\cos^{3}4x. Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Por que escolher um método por substituição? Aqui a integranda tem a forma “uma função trigonométrica elevada a uma potência” vezes outra função trigonométrica que se parece com a derivada do argumento interno. Uma ideia geral útil: se você ver \cos^{n}(4x) e \operatorname{sen} 4x juntos, vale tentar u=\cos(4x), porque a derivada de \cos(4x) envolve \operatorname{sen} 4x (pela regra da cadeia). Vou explicar passo a passo a substituição e por que ela resolve a integral de forma simples.

Passo 3

Fazemos a substituição u=\cos(4x). Agora calcule du. Usando a regra da cadeia, a derivada de \cos(4x) em relação a x é
\frac{d}{dx}\cos(4x) = -4\operatorname{sen}(4x).
Portanto, em forma diferencial,
du = -4\operatorname{sen}(4x)\,dx.
Isolando \operatorname{sen}(4x)\,dx obtemos
\operatorname{sen}(4x)\,dx = -\frac{1}{4}\,du.
Essa expressão é perfeita porque substitui exatamente o fator \operatorname{sen}(4x)\,dx presente na integral, e \cos^{3}(4x) vira u^{3}.

Passo 4

Agora substituímos na integral original. Temos
\int \operatorname{sen} 4x \cdot \cos^{3}4x \, dx = \int \left(\cos^{3}4x\right)\left(\operatorname{sen} 4x\,dx\right).
Usando u=\cos(4x) e \operatorname{sen}(4x)\,dx=-\tfrac{1}{4}\,du, a integral transforma-se em
\int u^{3}\left(-\tfrac{1}{4}\,du\right) = -\tfrac{1}{4}\int u^{3}\,du.

Passo 5

Integramos u^{3} usando a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=3, então
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4}+C.
Multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{4} que estava fora, obtemos
-\tfrac{1}{4}\cdot\frac{u^{4}}{4} + C = -\frac{u^{4}}{16} + C.

Passo 6

Voltando à variável original x (substituindo u=\cos(4x)), a primitiva fica
-\frac{\cos^{4}(4x)}{16} + C.
É sempre bom checar rapidamente: derivando -\tfrac{1}{16}\cos^{4}(4x) pelo teorema da cadeia obtemos
-\tfrac{1}{16}\cdot 4\cos^{3}(4x)\cdot\big(-4\operatorname{sen}(4x)\big)=\operatorname{sen}(4x)\cos^{3}(4x),
que é exatamente a integranda, então a primitiva está correta.

Passo 7

Observação final e dica para a prova: quando ver produtos do tipo \operatorname{sen}(kx)\cos^{n}(kx) ou \cos(kx)\operatorname{sen}^{n}(kx), pense em substituir pela função cujo expoente é n (aqui \cos(4x)), porque a derivada dessa função geralmente traz o outro fator trigonométrico multiplicado por uma constante, permitindo a substituição direta. Isso economiza tempo e evita manipulações trigonométricas longas.

Resposta

-\frac{\cos^{4}(4x)}{16}+C

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