∫ sen^{4} x · cos x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{4} x \cdot \cos x \, dx
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função a integrar é o produto de \operatorname{sen}^{4}x com \cos x.
  • Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen}^{4}x\cos x.
  • Lembre-se de que devemos acrescentar a constante de integração C no final.

Passo 2

Observação fundamental: a derivada da função \operatorname{sen} x é \cos x. Em outras palavras, derivando \operatorname{sen} x com respeito a x, obtemos \cos x. Isso é útil porque temos um fator \cos x multiplicando uma função de \operatorname{sen} x. Essa situação é perfeita para a técnica de substituição: se definirmos uma nova variável igual a \operatorname{sen} x, o diferencial dessa nova variável vai ser exatamente o pedaço \cos x\,dx que está na integral. Formalizando, fazemos a substituição:
u = \operatorname{sen} x.
Calculamos o diferencial du. Pela regra de derivação,
du = \cos x \, dx.
Portanto, o produto \cos x\,dx da integral original é exatamente du. Substituindo na integral original, temos:
\int \operatorname{sen}^{4} x \cdot \cos x \, dx = \int u^{4} \, du.

Passo 3

Agora integramos \int u^{4}\,du. Lembrando a regra de potências para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=4. Aplicando a fórmula:
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5} + C.
A fórmula vem do fato de que, ao derivar \frac{u^{n+1}}{n+1}, volta-se para u^n (por isso é a antiderivada).

Passo 4

Voltamos à variável original, lembrando que u=\operatorname{sen} x. Então a primitiva em termos de x é
\frac{(\operatorname{sen} x)^{5}}{5} + C,
que pode ser escrita de forma mais compacta como:
\frac{\operatorname{sen}^{5} x}{5} + C.

Passo 5

Verificação: derivamos o resultado para checar se voltamos ao integrando original. Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\operatorname{sen}^{5}x}{5}\right) = \frac{1}{5}\cdot 5\operatorname{sen}^{4}x\cdot\cos x = \operatorname{sen}^{4}x\cos x,
que é exatamente o integrando, confirmando que o resultado está correto.
Sempre que tivermos uma integral da forma \int \operatorname{sen}^{n}x\cos x\,dx (com inteiro n), a substituição u=\operatorname{sen} x funciona direto e a primitiva é \frac{\operatorname{sen}^{n+1}x}{n+1}+C (desde que n\neq -1). A mesma ideia vale para \int \cos^{n}x\sin x\,dx com u=\cos x.
Este exercício é um caso clássico e direto de substituição. É recomendado anotar a técnica e praticar mais alguns com potências diferentes de \operatorname{sen} x ou \cos x para fixar o aprendizado.

Resposta

\dfrac{\operatorname{sen}^{5}x}{5}+C

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