∫ sen^{4} x · cos x dx
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A função a integrar é o produto de
com . - Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função
tal que . - Lembre-se de que devemos acrescentar a constante de integração
no final.
Passo 2
Observação fundamental: a derivada da função
é
. Em outras palavras, derivando
com respeito a
, obtemos
. Isso é útil porque temos um fator
multiplicando uma função de
. Essa situação é perfeita para a técnica de substituição: se definirmos uma nova variável igual a
, o diferencial dessa nova variável vai ser exatamente o pedaço
que está na integral. Formalizando, fazemos a substituição:
Calculamos o diferencial
. Pela regra de derivação,
Portanto, o produto
da integral original é exatamente
. Substituindo na integral original, temos:
Passo 3
Agora integramos
. Lembrando a regra de potências para integrais: para
,
Aqui
. Aplicando a fórmula:
A fórmula vem do fato de que, ao derivar
, volta-se para
(por isso é a antiderivada).
Passo 4
Voltamos à variável original, lembrando que
. Então a primitiva em termos de
é
que pode ser escrita de forma mais compacta como:
Passo 5
Verificação: derivamos o resultado para checar se voltamos ao integrando original. Usando a regra da cadeia:
que é exatamente o integrando, confirmando que o resultado está correto.
Sempre que tivermos uma integral da forma
(com inteiro
), a substituição
funciona direto e a primitiva é
(desde que
). A mesma ideia vale para
com
.
Este exercício é um caso clássico e direto de substituição. É recomendado anotar a técnica e praticar mais alguns com potências diferentes de
ou
para fixar o aprendizado.