Q26. Um ponto material move-se numa trajetória elíptica definida pelo vetor posição
. Mostre que a aceleração (a) é voltada para a origem, (b) f proporcional à distância da origem ao ponto material.
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição do ponto material
onde
,
e
são constantes. O que se pede:
(a) mostrar que a aceleração é voltada para a origem;
(b) mostrar que a aceleração é proporcional à distância da origem ao ponto material.
Estas são as duas perguntas que vamos responder passo a passo.
(a) mostrar que a aceleração é voltada para a origem;
(b) mostrar que a aceleração é proporcional à distância da origem ao ponto material.
Estas são as duas perguntas que vamos responder passo a passo.
Passo 2
Vamos lembrar como calcular velocidade e aceleração a partir do vetor posição componente a componente. Se
então a velocidade é
e a aceleração é
.
Também precisamos usar a regra da cadeia para derivadas: se então
, e
. O mesmo vale para
:
e
. Vou aplicar isso às componentes de
.
Também precisamos usar a regra da cadeia para derivadas: se
Passo 3
Identificamos as componentes:
Derivando uma vez (velocidade):
Derivando de novo (aceleração), usando as derivadas citadas no passo anterior:
Logo a aceleração como vetor fica
Passo 4
Agora compare
com
. Reescrevendo
para comparar:
Multiplicando
por
obtemos
Isso coincide exatamente com
que calculámos no passo anterior. Portanto
Passo 5
Interpretação das duas partes pedidas:
(a) Sendo
, a aceleração é um escalar negativo multiplicando o vetor posição. Isso significa que
tem direção oposta à de
(pois o escalar é negativo) — ou seja, aponta para a origem. Em linguagem vetorial:
é paralelo a
.
(b) Da relação
segue que as magnitudes satisfazem
Portanto a magnitude da aceleração é proporcional à distância da origem
, com constante de proporcionalidade
. Note que
é sempre não negativa, então a proporção de magnitudes vale independentemente do sinal de
.
Resposta
(a)
é voltada para a origem (
).
(b) , logo
é proporcional à distância da origem, e explicitamente
.
(b)