Q26. Um ponto material move-se numa trajetória elíptica definida pelo vetor posição \vec{r}=(A \cos (p t)) \hat{\mathrm{i}}-(B \sin (p t)) \hat{\mathrm{j}}. Mostre que a aceleração (a) é voltada para a origem, (b) f proporcional à distância da origem ao ponto material. \mathbf{R}: \vec{a}=-p \vec{r}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição do ponto material
\vec{r}(t)=A\cos(pt)\,\hat{\mathrm{i}}-B\sin(pt)\,\hat{\mathrm{j}},
onde A, B e p são constantes. O que se pede:
(a) mostrar que a aceleração é voltada para a origem;
(b) mostrar que a aceleração é proporcional à distância da origem ao ponto material.
Estas são as duas perguntas que vamos responder passo a passo.

Passo 2

Vamos lembrar como calcular velocidade e aceleração a partir do vetor posição componente a componente. Se
\vec{r}(t)=x(t)\,\hat{\mathrm{i}}+y(t)\,\hat{\mathrm{j}},
então a velocidade é \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=\dfrac{dx}{dt}\,\hat{\mathrm{i}}+\dfrac{dy}{dt}\,\hat{\mathrm{j}} e a aceleração é \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}\,\hat{\mathrm{i}}+\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}\,\hat{\mathrm{j}}.
Também precisamos usar a regra da cadeia para derivadas: se f(t)=\cos(pt) então \dfrac{d}{dt}\cos(pt)=-p\sin(pt), e \dfrac{d^{2}}{dt^{2}}\cos(pt)=-p^{2}\cos(pt). O mesmo vale para \sin(pt): \dfrac{d}{dt}\sin(pt)=p\cos(pt) e \dfrac{d^{2}}{dt^{2}}\sin(pt)=-p^{2}\sin(pt). Vou aplicar isso às componentes de \vec{r}.

Passo 3

Identificamos as componentes:
x(t)=A\cos(pt),\qquad y(t)=-B\sin(pt).
Derivando uma vez (velocidade):
\frac{dx}{dt}=-A p\sin(pt),\qquad \frac{dy}{dt}=-B p\cos(pt).
Derivando de novo (aceleração), usando as derivadas citadas no passo anterior:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-A p^{2}\cos(pt),\qquad \frac{d^{2}y}{dt^{2}}=B p^{2}\sin(pt).
Logo a aceleração como vetor fica
\vec{a}(t)=\left(-A p^{2}\cos(pt)\right)\hat{\mathrm{i}}+\left(B p^{2}\sin(pt)\right)\hat{\mathrm{j}}.

Passo 4

Agora compare \vec{a}(t) com \vec{r}(t). Reescrevendo \vec{r}(t) para comparar:
\vec{r}(t)=A\cos(pt)\,\hat{\mathrm{i}} \;+\; \big(-B\sin(pt)\big)\,\hat{\mathrm{j}}.
Multiplicando \vec{r}(t) por -p^{2} obtemos
-p^{2}\vec{r}(t) = -p^{2}\big(A\cos(pt)\big)\,\hat{\mathrm{i}} - p^{2}\big(-B\sin(pt)\big)\,\hat{\mathrm{j}} = \big(-A p^{2}\cos(pt)\big)\hat{\mathrm{i}} + \big(B p^{2}\sin(pt)\big)\hat{\mathrm{j}}.
Isso coincide exatamente com \vec{a}(t) que calculámos no passo anterior. Portanto
\vec{a}(t) = -p^{2}\,\vec{r}(t).

Passo 5

Interpretação das duas partes pedidas:
(a) Sendo \vec{a}=-p^{2}\vec{r}, a aceleração é um escalar negativo multiplicando o vetor posição. Isso significa que \vec{a} tem direção oposta à de \vec{r} (pois o escalar é negativo) — ou seja, aponta para a origem. Em linguagem vetorial: \vec{a} é paralelo a -\vec{r}.
(b) Da relação \vec{a}=-p^{2}\vec{r} segue que as magnitudes satisfazem
\|\vec{a}\| = p^{2}\,\|\vec{r}\|.
Portanto a magnitude da aceleração é proporcional à distância da origem \|\vec{r}\|, com constante de proporcionalidade p^{2}. Note que p^{2} é sempre não negativa, então a proporção de magnitudes vale independentemente do sinal de p.

Resposta

(a) \vec{a} é voltada para a origem ( \vec{a}\parallel -\vec{r} ).
(b) \|\vec{a}\|=p^{2}\|\vec{r}\|, logo \vec{a} é proporcional à distância da origem, e explicitamente \vec{a}=-p^{2}\vec{r}.

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