& \int \operatorname{sen}^{3}(x) d x=\frac{1}{3} \cos ^{3}(x)-\cos (x)+C \& \int \cos ^{3}(x) d x=\operatorname{sen}(x)-\frac{1}{3} \operatorname{sen}^{3}(x)+C
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede: temos duas integrais a serem calculadas explicitamente (com constante de integração).
- Integral 1:
. - Integral 2:
.
Vou calcular cada uma passo a passo, explicando a técnica usada (identidade trigonométrica simples + substituição) e verificando o resultado diferenciando a primitiva obtida.
Passo 2
Entendendo a estratégia para
.
- Observação: potências ímpares de seno ou cosseno são facilmente tratadas escrevendo uma potência simples separada e usando a identidade
. - Aplicação: escrevo
. - A vantagem: aparece um fator
que é proporcional a (na verdade ), então é natural fazer substituição.
Passo 3
Resolver
com substituição.
- Começo reescrevendo:
- Faço a substituição
Então
- Substituindo na integral:
- Agora integro termo a termo:
- Volto à variável original
:
Passo 4
Explicando por que a substituição funcionou (mini-aula rápida).
- A técnica usada é a substituição
quando a integral tem a forma . Aqui e . Ao reescrever como isolamos exatamente o fator , que é proporcional a . Isso transforma a integral trigonométrica numa integral polinomial em , que é trivial. - Regra de potência usada:
(para ), aplicada ao termo .
Passo 5
Verificação por diferenciação da primitiva de
.
- Resultado obtido:
- Diferencio
usando regra da cadeia e regra do produto (aqui só potência composta):
- Simplifico termo a termo:
- Logo
, confirmação correta.
Passo 6
Resolver
com técnica análoga.
- Estratégia: para potência ímpar de cosseno escrevo
. - Fazer substituição natural
, pois .
Passo 7
Cálculo efetivo de
.
- Reescrevo:
- Substituição
- Substituindo:
- Integro termo a termo:
- Volto à variável original:
Passo 8
Verificação por diferenciação da primitiva de
.
- Resultado obtido:
- Diferencio usando regra da cadeia:
- Confirmação feita:
.