& \int \operatorname{sen}^{3}(x) d x=\frac{1}{3} \cos ^{3}(x)-\cos (x)+C \& \int \cos ^{3}(x) d x=\operatorname{sen}(x)-\frac{1}{3} \operatorname{sen}^{3}(x)+C

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: temos duas integrais a serem calculadas explicitamente (com constante de integração).
  • Integral 1: \displaystyle \int \sin^{3}(x)\,dx.
  • Integral 2: \displaystyle \int \cos^{3}(x)\,dx.
Vou calcular cada uma passo a passo, explicando a técnica usada (identidade trigonométrica simples + substituição) e verificando o resultado diferenciando a primitiva obtida.

Passo 2

Entendendo a estratégia para \displaystyle \int \sin^{3}(x)\,dx.
  • Observação: potências ímpares de seno ou cosseno são facilmente tratadas escrevendo uma potência simples separada e usando a identidade \sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x).
  • Aplicação: escrevo \sin^{3}(x)=\sin^{2}(x)\sin(x)=(1-\cos^{2}(x))\sin(x).
  • A vantagem: aparece um fator \sin(x)\,dx que é proporcional a d(\cos x) (na verdade d(\cos x)=-\sin(x)\,dx), então é natural fazer substituição.

Passo 3

Resolver \displaystyle \int \sin^{3}(x)\,dx com substituição.
  • Começo reescrevendo:
\sin^{3}(x)=(1-\cos^{2}(x))\sin(x).
  • Faço a substituição
u=\cos(x).
Então
du=-\sin(x)\,dx\quad\text{ou}\quad \sin(x)\,dx=-du.
  • Substituindo na integral:
\int \sin^{3}(x)\,dx=\int (1-u^{2})(\sin(x)\,dx)=\int (1-u^{2})(-du)=-\int (1-u^{2})\,du.
  • Agora integro termo a termo:
-\int (1-u^{2})\,du=-\left(\int 1\,du - \int u^{2}\,du\right)=-\left(u - \frac{u^{3}}{3}\right)+C.
  • Volto à variável original (u=\cos(x)):
-\left(\cos(x)-\frac{\cos^{3}(x)}{3}\right)+C=\frac{\cos^{3}(x)}{3}-\cos(x)+C.

Passo 4

Explicando por que a substituição funcionou (mini-aula rápida).
  • A técnica usada é a substituição u=g(x) quando a integral tem a forma f(g(x))g'(x)\,dx. Aqui g(x)=\cos(x) e g'(x)=-\sin(x). Ao reescrever \sin^{3}(x) como (1-\cos^{2}x)\sin x isolamos exatamente o fator \sin x\,dx, que é proporcional a du. Isso transforma a integral trigonométrica numa integral polinomial em u, que é trivial.
  • Regra de potência usada: \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1), aplicada ao termo u^{2}.

Passo 5

Verificação por diferenciação da primitiva de \sin^{3}(x).
  • Resultado obtido:
F(x)=\frac{\cos^{3}(x)}{3}-\cos(x)+C.
  • Diferencio F usando regra da cadeia e regra do produto (aqui só potência composta):
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3\cos^{2}(x)\cdot(-\sin(x)) - (-\sin(x)).
  • Simplifico termo a termo:
F'(x)=-\cos^{2}(x)\sin(x)+\sin(x)=\sin(x)\bigl(1-\cos^{2}(x)\bigr)=\sin(x)\sin^{2}(x)=\sin^{3}(x).
  • Logo F'(x)=\sin^{3}(x), confirmação correta.

Passo 6

Resolver \displaystyle \int \cos^{3}(x)\,dx com técnica análoga.
  • Estratégia: para potência ímpar de cosseno escrevo \cos^{3}(x)=\cos^{2}(x)\cos(x)=(1-\sin^{2}(x))\cos(x).
  • Fazer substituição natural u=\sin(x), pois du=\cos(x)\,dx.

Passo 7

Cálculo efetivo de \displaystyle \int \cos^{3}(x)\,dx.
  • Reescrevo:
\cos^{3}(x)=(1-\sin^{2}(x))\cos(x).
  • Substituição
u=\sin(x),\qquad du=\cos(x)\,dx.
  • Substituindo:
\int \cos^{3}(x)\,dx=\int (1-u^{2})\,du.
  • Integro termo a termo:
\int (1-u^{2})\,du=\int 1\,du-\int u^{2}\,du=u-\frac{u^{3}}{3}+C.
  • Volto à variável original:
u-\frac{u^{3}}{3}+C=\sin(x)-\frac{\sin^{3}(x)}{3}+C.

Passo 8

Verificação por diferenciação da primitiva de \cos^{3}(x).
  • Resultado obtido:
G(x)=\sin(x)-\frac{\sin^{3}(x)}{3}+C.
  • Diferencio usando regra da cadeia:
G'(x)=\cos(x)-\frac{1}{3}\cdot 3\sin^{2}(x)\cos(x)=\cos(x)-\sin^{2}(x)\cos(x)=\cos(x)\bigl(1-\sin^{2}(x)\bigr)=\cos(x)\cos^{2}(x)=\cos^{3}(x).
  • Confirmação feita: G'(x)=\cos^{3}(x).

Resposta

\displaystyle \int \sin^{3}(x)\,dx=\frac{\cos^{3}(x)}{3}-\cos(x)+C
\displaystyle \int \cos^{3}(x)\,dx=\sin(x)-\frac{\sin^{3}(x)}{3}+C

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