Esboce a parábola indicando foco, vértice e diretriz.
Passo 1
O enunciado pede: “Esboce a parábola indicando foco, vértice e diretriz.” O enunciado não deu uma equação explícita, então vou trabalhar com a parábola padrão mais simples e didática:
. Vou esboçar essa parábola, mostrar como encontrar o vértice, o foco e a diretriz, e explicar passo a passo como você pode desenhar à mão no caderno.
Informações que vou usar (escolhidas a partir da decisão acima):
- A parábola a ser esboçada é
. - O objetivo é indicar: vértice, foco e diretriz na mesma figura.
Passo 2
Transformar a equação para a forma padrão da parábola vertical e entender o parâmetro que define foco/diretriz.
A forma padrão de uma parábola com eixo vertical é
onde:
-
é o vértice, -
é a distância (com sinal) do vértice ao foco (se a parábola abre para cima; se abre para baixo), - o foco fica em
, - a diretriz é a reta
.
Agora reescrevo
nessa forma. Escrevendo
temos
Portanto
, logo
Passo 3
Identificar o vértice.
Na forma
o vértice é
. Aqui
e
. Logo o vértice é
Explanação curta: o vértice é o “ponto de mínimo” quando a parábola abre para cima; para
é claro que o mínimo fica em
.
Passo 4
Calcular o foco usando
.
O foco é
. Substituindo
,
,
,
Explicando: o foco fica sobre o eixo de simetria (aqui o eixo vertical
), à distância
acima do vértice porque a parábola abre para cima.
Passo 5
Determinar a diretriz.
A diretriz tem equação
. Com
e
,
Interpretação: é uma reta horizontal abaixo do vértice, a mesma distância
que separa o vértice do foco, mas do outro lado.
Passo 6
Traçar o eixo de simetria e alguns pontos para esboçar a curva.
O eixo de simetria é a reta vertical
, aqui
Escolha alguns valores de
e calcule
para obter pontos fáceis:
- Para
: → ponto (vértice). - Para
: → ponto . - Para
: → ponto . - Para
: → ponto . - Para
: → ponto .
Esses pontos são simétricos em relação ao eixo
e ajudam a desenhar a curva.
Passo 7
Verificação da propriedade geométrica (opcional, boa para prova): distância ponto–foco = distância ponto–diretriz.
Pegue o ponto
. Distância ao foco
é
Distância à diretriz
é a distância vertical entre
e
:
São iguais, como a definição da parábola exige. Isso confirma que foco e diretriz calculados estão corretos.
Passo 8
Como esboçar à mão (passo a passo prático):
- Desenhe o sistema de eixos
e . - Marque o vértice em
. - Desenhe o eixo de simetria
(reta vertical tracejada, se quiser). - Marque o foco em
— um ponto pequeno acima do vértice. - Desenhe a diretriz
— uma reta horizontal abaixo do vértice (pode traçá-la tracejada). - Marque os pontos
, para guiar a curva. - Desenhe uma curva suave que passa pelos pontos e que seja simétrica em relação a
, com mínimo no vértice e aproximando-se para cima conforme os pontos mostram.
Dica prática: deixe o traçado mais curvo perto do vértice e “abrindo” conforme sobe; use os pontos simétricos para manter a forma correta.
Passo 9
Resumo final do que deve aparecer no esboço (isso é o que você deve rotular no desenho):
- Vértice:
. - Foco:
. - Diretriz:
. - Eixo de simetria:
. - Pontos de referência:
.
Resposta
Foco:
Vértice:
Diretriz:
Vértice:
Diretriz: