Esboce a parábola indicando foco, vértice e diretriz.

Passo 1

O enunciado pede: “Esboce a parábola indicando foco, vértice e diretriz.” O enunciado não deu uma equação explícita, então vou trabalhar com a parábola padrão mais simples e didática: y=x^2. Vou esboçar essa parábola, mostrar como encontrar o vértice, o foco e a diretriz, e explicar passo a passo como você pode desenhar à mão no caderno.
Informações que vou usar (escolhidas a partir da decisão acima):
  • A parábola a ser esboçada é \,y = x^2\,.
  • O objetivo é indicar: vértice, foco e diretriz na mesma figura.

Passo 2

Transformar a equação para a forma padrão da parábola vertical e entender o parâmetro que define foco/diretriz.
A forma padrão de uma parábola com eixo vertical é
(x-h)^2 = 4p\,(y-k),
onde:
  • (h,k) é o vértice,
  • p é a distância (com sinal) do vértice ao foco (se p>0 a parábola abre para cima; se p<0 abre para baixo),
  • o foco fica em (h,\,k+p),
  • a diretriz é a reta y = k - p.
Agora reescrevo \,y=x^2\, nessa forma. Escrevendo x^2 = y temos
(x-0)^2 = 1\cdot y = 4p\,(y-0).
Portanto 4p = 1, logo
p = \tfrac{1}{4}.

Passo 3

Identificar o vértice.
Na forma (x-h)^2 = 4p(y-k) o vértice é (h,k). Aqui h=0 e k=0. Logo o vértice é
\text{Vértice: }(0,0).é
Explanação curta: o vértice é o “ponto de mínimo” quando a parábola abre para cima; para y=x^2 é claro que o mínimo fica em (0,0).

Passo 4

Calcular o foco usando p=\tfrac{1}{4}.
O foco é (h,\,k+p). Substituindo h=0, k=0, p=\tfrac{1}{4},
\text{Foco: }\left(0,\,\tfrac{1}{4}\right).
Explicando: o foco fica sobre o eixo de simetria (aqui o eixo vertical x=0), à distância p acima do vértice porque a parábola abre para cima.

Passo 5

Determinar a diretriz.
A diretriz tem equação y = k - p. Com k=0 e p=\tfrac{1}{4},
\text{Diretriz: } y = -\tfrac{1}{4}.
Interpretação: é uma reta horizontal abaixo do vértice, a mesma distância p que separa o vértice do foco, mas do outro lado.

Passo 6

Traçar o eixo de simetria e alguns pontos para esboçar a curva.
O eixo de simetria é a reta vertical x=h, aqui
\text{Eixo: } x=0.
Escolha alguns valores de x e calcule y=x^2 para obter pontos fáceis:
  • Para x=0: y=0 → ponto (0,0) (vértice).
  • Para x=1: y=1 → ponto (1,1).
  • Para x=-1: y=1 → ponto (-1,1).
  • Para x=2: y=4 → ponto (2,4).
  • Para x=-2: y=4 → ponto (-2,4).
Esses pontos são simétricos em relação ao eixo x=0 e ajudam a desenhar a curva.

Passo 7

Verificação da propriedade geométrica (opcional, boa para prova): distância ponto–foco = distância ponto–diretriz.
Pegue o ponto (1,1). Distância ao foco \left(0,\tfrac14\right) é
\sqrt{(1-0)^2 + \Big(1-\tfrac{1}{4}\Big)^2} = \sqrt{1 + \Big(\tfrac{3}{4}\Big)^2} = \sqrt{1 + \tfrac{9}{16}} = \sqrt{\tfrac{25}{16}} = \tfrac{5}{4}.
Distância à diretriz y=-\tfrac14 é a distância vertical entre y=1 e y=-\tfrac14:
1 - \Big(-\tfrac{1}{4}\Big) = \tfrac{5}{4}.
São iguais, como a definição da parábola exige. Isso confirma que foco e diretriz calculados estão corretos.

Passo 8

Como esboçar à mão (passo a passo prático):
  1. Desenhe o sistema de eixos x e y.
  2. Marque o vértice em (0,0).
  3. Desenhe o eixo de simetria x=0 (reta vertical tracejada, se quiser).
  4. Marque o foco em \left(0,\tfrac{1}{4}\right) — um ponto pequeno acima do vértice.
  5. Desenhe a diretriz y=-\tfrac{1}{4} — uma reta horizontal abaixo do vértice (pode traçá-la tracejada).
  6. Marque os pontos (\pm 1,1), (\pm 2,4) para guiar a curva.
  7. Desenhe uma curva suave que passa pelos pontos e que seja simétrica em relação a x=0, com mínimo no vértice e aproximando-se para cima conforme os pontos mostram.
Dica prática: deixe o traçado mais curvo perto do vértice e “abrindo” conforme sobe; use os pontos simétricos para manter a forma correta.

Passo 9

Resumo final do que deve aparecer no esboço (isso é o que você deve rotular no desenho):
  • Vértice: (0,0).
  • Foco: \left(0,\tfrac{1}{4}\right).
  • Diretriz: y = -\tfrac{1}{4}.
  • Eixo de simetria: x=0.
  • Pontos de referência: (\pm1,1), (\pm2,4).

Resposta

Foco: \left(0,\tfrac{1}{4}\right)
Vértice: (0,0)
Diretriz: y = -\tfrac{1}{4}

Exercícios relacionados