QUESTÃO 02 : Encontre o domínio das funções.
f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-2 x-3}{x-2}}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o domínio da função
f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-2x-3}{x-2}}.
Informações dadas:
  • A função é a raiz quadrada do quociente \dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2}.
  • É preciso determinar todos os valores de x para os quais f(x) está bem definida (ou seja, resulta em número real).

Passo 2

Regras que vamos usar (explicando por que):
  • Para a raiz quadrada estar definida no conjunto dos números reais, o radicando deve ser não negativo:
\frac{x^{2}-2x-3}{x-2}\ge 0.
Isto porque \sqrt{\,\cdot\,} de número negativo não é real.
  • Além disso, o denominador não pode ser zero:
x\neq 2.
Isto porque divisão por zero não é definida.

Passo 3

Vamos simplificar o radicando fatorando o numerador. Calcule a fatoração de x^{2}-2x-3:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Portanto o radicando fica
\frac{x^{2}-2x-3}{x-2}=\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}.

Passo 4

Resolveremos a desigualdade
\frac{(x-3)(x+1)}{x-2}\ge 0,
com a condição x\neq 2.
Método: análise de sinais por intervalos usando os pontos críticos que anulam numerador ou denominador. Os pontos críticos são as raízes de cada fator:
x=-1,\quad x=2,\quad x=3.
Ordenando-os na reta real: -\infty < -1 < 2 < 3 < +\infty.
Estes pontos particionam a reta em quatro intervalos onde o sinal da fração é constante:
(-\infty,-1),\;(-1,2),\;(2,3),\;(3,\infty).
Como cada fator aparece com multiplicidade 1, o sinal muda ao atravessar cada ponto crítico.

Passo 5

Avaliar o sinal em cada intervalo testando um valor de x em cada um (vamos indicar o sinal de cada fator):
  • Para x\in(-\infty,-1), escolha x=-2.
    • x+1=-2+1=-1 negativo,
    • x-3=-2-3=-5 negativo,
    • x-2=-2-2=-4 negativo.
      Produto/razão: \dfrac{(\text{neg})(\text{neg})}{\text{neg}}=\dfrac{\text{pos}}{\text{neg}}=\text{negativo}. Logo a fração é negativa neste intervalo → não satisfaz \ge0.
  • Para x\in(-1,2), escolha x=0.
    • x+1=1 positivo,
    • x-3=-3 negativo,
    • x-2=-2 negativo.
      Produto/razão: \dfrac{(\text{pos})(\text{neg})}{\text{neg}}=\dfrac{\text{neg}}{\text{neg}}=\text{positivo}. Logo a fração é positiva neste intervalo → satisfaz \ge0.
  • Para x\in(2,3), escolha x=2{,}5.
    • x+1=3{,}5 positivo,
    • x-3=-0{,}5 negativo,
    • x-2=0{,}5 positivo.
      Produto/razão: \dfrac{(\text{pos})(\text{neg})}{\text{pos}}=\text{negativo}. Logo a fração é negativa neste intervalo → não satisfaz \ge0.
  • Para x\in(3,\infty), escolha x=4.
    • x+1=5 positivo,
    • x-3=1 positivo,
    • x-2=2 positivo.
      Produto/razão: \dfrac{(\text{pos})(\text{pos})}{\text{pos}}=\text{positivo}. Logo a fração é positiva neste intervalo → satisfaz \ge0.

Passo 6

Decidir sobre inclusão dos pontos críticos:
  • Em x=-1 e x=3 o numerador zera, então a fração vale 0 (desde que o denominador não seja zero). Como x=-1 e x=3 não coincidem com x=2, ambos são permitidos (produzem radicando zero e \sqrt{0}=0 é válido).
  • Em x=2 o denominador zera, então x=2 é proibido.
Combinando os intervalos onde a fração é não negativa e incluindo os zeros, obtemos o domínio:
[-1,2)\cup[3,\infty).

Resposta

[ -1,2 )\cup[3,\infty)

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