QUESTÃO 02 : Encontre o domínio das funções.
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o domínio da função
Informações dadas:
- A função é a raiz quadrada do quociente
. - É preciso determinar todos os valores de
para os quais está bem definida (ou seja, resulta em número real).
Passo 2
Regras que vamos usar (explicando por que):
- Para a raiz quadrada estar definida no conjunto dos números reais, o radicando deve ser não negativo:
Isto porque
de número negativo não é real.
- Além disso, o denominador não pode ser zero:
Isto porque divisão por zero não é definida.
Passo 3
Vamos simplificar o radicando fatorando o numerador. Calcule a fatoração de
:
Portanto o radicando fica
Passo 4
Resolveremos a desigualdade
com a condição
.
Método: análise de sinais por intervalos usando os pontos críticos que anulam numerador ou denominador. Os pontos críticos são as raízes de cada fator:
Ordenando-os na reta real:
.
Estes pontos particionam a reta em quatro intervalos onde o sinal da fração é constante:
Estes pontos particionam a reta em quatro intervalos onde o sinal da fração é constante:
Como cada fator aparece com multiplicidade
, o sinal muda ao atravessar cada ponto crítico.
Passo 5
Avaliar o sinal em cada intervalo testando um valor de
em cada um (vamos indicar o sinal de cada fator):
-
Para
, escolha . -
negativo, -
negativo, -
negativo.
Produto/razão:. Logo a fração é negativa neste intervalo → não satisfaz .
-
-
Para
, escolha . -
positivo, -
negativo, -
negativo.
Produto/razão:. Logo a fração é positiva neste intervalo → satisfaz .
-
-
Para
, escolha . -
positivo, -
negativo, -
positivo.
Produto/razão:. Logo a fração é negativa neste intervalo → não satisfaz .
-
-
Para
, escolha . -
positivo, -
positivo, -
positivo.
Produto/razão:. Logo a fração é positiva neste intervalo → satisfaz .
-
Passo 6
Decidir sobre inclusão dos pontos críticos:
- Em
e o numerador zera, então a fração vale (desde que o denominador não seja zero). Como e não coincidem com , ambos são permitidos (produzem radicando zero e é válido). - Em
o denominador zera, então é proibido.
Combinando os intervalos onde a fração é não negativa e incluindo os zeros, obtemos o domínio: