QUESTÃO 02 : Encontre o domínio das funções.
f(x)=\frac{\sqrt{(2 x-4)\left(x^{2}-4 x+3\right)}}{\sqrt[4]{3 x-1}}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\sqrt{(2x-4)\left(x^{2}-4x+3\right)}}{\sqrt[4]{3x-1}}
e pede o domínio (todos os x reais para os quais f(x) está bem definida como número real). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é \sqrt{(2x-4)\left(x^{2}-4x+3\right)}. Para a raiz quadrada real, o radicando deve satisfazer (2x-4)\left(x^{2}-4x+3\right)\ge 0.
  • O denominador é \sqrt[4]{3x-1}. A raiz quarta exige 3x-1\ge 0 para ser real; porém, como essa raiz está no denominador, não é permitido que seja zero, portanto é necessário 3x-1>0.
  • Pontos notáveis (raízes dos fatores): 2x-4=0 em x=2; x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3) zera em x=1 e x=3. O denominador zera em x=\tfrac{1}{3}.

Passo 2

Tratar a restrição do denominador (muito importante): para que \sqrt[4]{3x-1} seja definida e não zero, é necessário que
3x-1>0.
Resolvendo,
3x>1\quad\Rightarrow\quad x>\tfrac{1}{3}.
Conclusão parcial: o domínio só pode conter valores com x>\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Tratar a restrição do numerador: precisamos de
(2x-4)\left(x^{2}-4x+3\right)\ge 0.
Fatorando o que for possível:
2x-4=2(x-2), \qquad x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Então o radicando é proporcional a
2(x-2)(x-1)(x-3).
Como o fator constante 2>0 não altera o sinal, basta analisar o sinal do produto (x-2)(x-1)(x-3). As raízes críticas são x=1,2,3. Vamos estudar o sinal em cada intervalo definido por esses pontos.

Passo 4

Análise de sinal por intervalo (examinar o sinal de cada fator em cada intervalo):
  • Para x<1: (x-1)<0,\\ (x-2)<0,\\ (x-3)<0. Produto: (x-2)(x-1)(x-3) é negativo (três fatores negativos → negativo). Então o radicando é negativo — não permitido.
  • Para 1<x<2: (x-1)>0,\\ (x-2)<0,\\ (x-3)<0. Dois fatores negativos → produto positivo. Então o radicando é positivo — permitido.
  • Para 2<x<3: (x-1)>0,\\ (x-2)>0,\\ (x-3)<0. Um fator negativo → produto negativo — não permitido.
  • Para x>3: (x-1)>0,\\ (x-2)>0,\\ (x-3)>0. Todos positivos → produto positivo — permitido.
    Nos pontos x=1,2,3 o produto é zero, o que torna o radicando igual a zero; \sqrt{0}=0 é permitido (desde que o denominador seja não nulo).
Portanto, a condição do numerador fornece os conjuntos permitidos
[1,2]\quad\text{e}\quad[3,\infty).

Passo 5

Agora intersectar as duas condições: precisamos de x>\tfrac{1}{3} (Passo 2) E de x estar em [1,2] ou em [3,\infty) (Passo 4). Note que todo ponto em [1,2]\cup[3,\infty) satisfaz x>\tfrac{1}{3}, pois 1>\tfrac{1}{3}. Além disso, verificar rapidamente que nos pontos onde o numerador é zero ( x=1,2,3) o denominador não é zero:
3\cdot1-1=2>0,\qquad 3\cdot2-1=5>0,\qquad 3\cdot3-1=8>0.
Portanto os pontos 1,2,3 são permitidos.

Passo 6

Conclusão: o domínio da função é a união dos intervalos onde o radicando do numerador é não negativo e o radicando do denominador é estritamente positivo. Assim o domínio é
[1,2]\cup[3,\infty).

Resposta

[1,2]\cup[3,\infty)

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