QUESTÃO 02 : Encontre o domínio das funções.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio (todos os
reais para os quais
está bem definida como número real). Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é
. Para a raiz quadrada real, o radicando deve satisfazer . - O denominador é
. A raiz quarta exige para ser real; porém, como essa raiz está no denominador, não é permitido que seja zero, portanto é necessário . - Pontos notáveis (raízes dos fatores):
em ; zera em e . O denominador zera em .
Passo 2
Tratar a restrição do denominador (muito importante): para que
seja definida e não zero, é necessário que
Resolvendo,
Conclusão parcial: o domínio só pode conter valores com
.
Passo 3
Tratar a restrição do numerador: precisamos de
Fatorando o que for possível:
Então o radicando é proporcional a
Como o fator constante
não altera o sinal, basta analisar o sinal do produto
. As raízes críticas são
. Vamos estudar o sinal em cada intervalo definido por esses pontos.
Passo 4
Análise de sinal por intervalo (examinar o sinal de cada fator em cada intervalo):
- Para
: . Produto: é negativo (três fatores negativos → negativo). Então o radicando é negativo — não permitido. - Para
: . Dois fatores negativos → produto positivo. Então o radicando é positivo — permitido. - Para
: . Um fator negativo → produto negativo — não permitido. - Para
: . Todos positivos → produto positivo — permitido.
Nos pontoso produto é zero, o que torna o radicando igual a zero; é permitido (desde que o denominador seja não nulo).
Portanto, a condição do numerador fornece os conjuntos permitidos
Passo 5
Agora intersectar as duas condições: precisamos de
(Passo 2) E de
estar em
ou em
(Passo 4). Note que todo ponto em
satisfaz
, pois
. Além disso, verificar rapidamente que nos pontos onde o numerador é zero (
) o denominador não é zero:
Portanto os pontos
são permitidos.
Passo 6
Conclusão: o domínio da função é a união dos intervalos onde o radicando do numerador é não negativo e o radicando do denominador é estritamente positivo. Assim o domínio é