Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede-se calcular a integral indefinida
. - A variável de integração é
. - Não há outros dados; trata-se de encontrar uma primitiva da função
(ou seja, da função arco-seno de ). - Observação prática: a derivada de
existe para , então a integração por partes que faremos é válida nesse intervalo (a primitiva pode ser estendida por continuidade onde fizer sentido).
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): usar integração por partes.
- Regra da integração por partes: para funções
e diferenciáveis, vale
- Explicando: escolhemos dividir o integrando em um fator que será
(cuja diferença/derivada fica mais simples) e outro que será (facilmente integrável). Depois aplicamos a fórmula acima. - Aqui é natural escolher
a parte “complicada” e como , porque é simples.
Passo 3
Escolhas concretas para aplicar a fórmula:
- Tome
- Agora precisamos de
e de . - A derivada da função arco-seno é (regra conhecida; vou explicar em seguida)
Portanto
- E
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Assim reduzimos o problema a calcular a integral
Passo 5
Resolver
por substituição:
- Fazer a substituição conveniente
. Isso é comum quando aparece . - Então
, ou seja . - Transformando a integral:
Passo 6
Calcular a integral em
:
Voltando a
(lembre que
):
Passo 7
Substituir esse resultado na expressão obtida pela integração por partes:
Ou seja,
Passo 8
Verificação rápida (opcional, para ficar seguro): derivando a resposta dá o integrando?
- Diferenciando
:
Somando:
que é exatamente o integrando. Boa — está correto.