\int \operatorname{sen}^{-1} y d y

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede-se calcular a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{sen}^{-1} y\, dy.
  • A variável de integração é y.
  • Não há outros dados; trata-se de encontrar uma primitiva da função \operatorname{sen}^{-1} y (ou seja, da função arco-seno de y).
  • Observação prática: a derivada de \operatorname{sen}^{-1} y existe para |y|<1, então a integração por partes que faremos é válida nesse intervalo (a primitiva pode ser estendida por continuidade onde fizer sentido).

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): usar integração por partes.
  • Regra da integração por partes: para funções u(y) e v(y) diferenciáveis, vale
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
  • Explicando: escolhemos dividir o integrando em um fator que será u (cuja diferença/derivada fica mais simples) e outro que será dv (facilmente integrável). Depois aplicamos a fórmula acima.
  • Aqui é natural escolher u a parte “complicada” \operatorname{sen}^{-1} y e dv como dy, porque \int dy é simples.

Passo 3

Escolhas concretas para aplicar a fórmula:
  • Tome
u = \operatorname{sen}^{-1} y, \qquad dv = dy.
  • Agora precisamos de du e de v.
  • A derivada da função arco-seno é (regra conhecida; vou explicar em seguida)
\frac{d}{dy}\big(\operatorname{sen}^{-1} y\big)=\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\quad\text{para }|y|<1.
Portanto
du = \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\,dy.
  • E
v=\int dv=\int dy = y.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int \operatorname{sen}^{-1} y \, dy = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \operatorname{sen}^{-1} y \, dy = y\operatorname{sen}^{-1} y - \int y\cdot\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\,dy.
Assim reduzimos o problema a calcular a integral
\int \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\,dy.

Passo 5

Resolver \displaystyle \int \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\,dy por substituição:
  • Fazer a substituição conveniente t = 1 - y^{2}. Isso é comum quando aparece \sqrt{1-y^{2}}.
  • Então dt = -2y\,dy, ou seja y\,dy = -\dfrac{1}{2}\,dt.
  • Transformando a integral:
\int \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\,dy = \int \frac{1}{\sqrt{t}}\left(-\frac{1}{2}\,dt\right) = -\frac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt.

Passo 6

Calcular a integral em t:
-\frac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt = -\frac{1}{2}\cdot 2 t^{1/2} + C = -\,t^{1/2} + C.
Voltando a y (lembre que t=1-y^{2}):
\int \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\,dy = -\sqrt{1-y^{2}} + C.

Passo 7

Substituir esse resultado na expressão obtida pela integração por partes:
\int \operatorname{sen}^{-1} y \, dy = y\operatorname{sen}^{-1} y - \big(-\sqrt{1-y^{2}}\big) + C.
Ou seja,
\int \operatorname{sen}^{-1} y \, dy = y\operatorname{sen}^{-1} y + \sqrt{1-y^{2}} + C.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, para ficar seguro): derivando a resposta dá o integrando?
  • Diferenciando \displaystyle y\operatorname{sen}^{-1} y + \sqrt{1-y^{2}}:
\frac{d}{dy}\big(y\operatorname{sen}^{-1} y\big) = \operatorname{sen}^{-1} y + y\cdot\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}},
\frac{d}{dy}\big(\sqrt{1-y^{2}}\big) = \frac{d}{dy}\big((1-y^{2})^{1/2}\big) = \frac{1}{2}(1-y^{2})^{-1/2}\cdot(-2y) = -\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}.
Somando:
\operatorname{sen}^{-1} y + y\cdot\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} - \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}} = \operatorname{sen}^{-1} y,
que é exatamente o integrando. Boa — está correto.

Resposta

\int \operatorname{sen}^{-1} y\,dy = y\operatorname{sen}^{-1} y + \sqrt{1-y^{2}} + C

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