Questão 01: Sejam a, b \in \mathbb{Z}, tais que a \cdot a+b \cdot b=0. Prove que a=0 e b=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a,b\in\mathbb{Z}.
  • a\cdot a + b\cdot b = 0.
O que se pede: provar que a=0 e b=0.

Passo 2

Conhecimento básico que vamos usar (explicado devagar): para qualquer inteiro n vale que n^2\ge 0.
Por que isso é verdade? Dois casos:
  • Se n=0 então n^2=0.
  • Se n\neq 0 então |n|\ge 1 (o menor valor possível do valor absoluto de um inteiro não nulo é 1), logo
n^2 = |n|^2 \ge 1^2 = 1 > 0.
Portanto, para qualquer inteiro n temos ou n^2=0 (quando n=0) ou n^2\ge 1 (quando n\neq 0).

Passo 3

Aplique isso a a e a b: temos \,a^2\ge 0 e \,b^2\ge 0. Logo a soma \,a^2+b^2 é um número inteiro não negativo. Pelo enunciado sabemos que
a^2+b^2=0.
Mas a soma de dois inteiros não negativos só pode ser zero se cada um deles for zero. Mais formalmente: se um dos termos fosse positivo (ou seja, pelo menos 1), a soma seria pelo menos 1, o que contradiz a^2+b^2=0. Portanto necessariamente
a^2=0\qquad\text{e}\qquad b^2=0.

Passo 4

Concluir a partir de a^2=0 e b^2=0: como o único inteiro cujo quadrado é 0 é 0 próprio, segue que
a=0\qquad\text{e}\qquad b=0.
Um exemplo rápido para fixar a intuição: se a=1 e b=0 então a^2+b^2=1\neq 0; se a=-1 e b=0 então também dá 1. Só com ambos nulos a soma das quadrados dá zero.

Resposta

a=0
b=0

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