Questão 01: Sejam
, tais que
. Prove que
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
.
O que se pede: provar que
e
.
Passo 2
Conhecimento básico que vamos usar (explicado devagar): para qualquer inteiro
vale que
.
Por que isso é verdade? Dois casos:
Por que isso é verdade? Dois casos:
- Se
então . - Se
então (o menor valor possível do valor absoluto de um inteiro não nulo é ), logo
Portanto, para qualquer inteiro
temos ou
(quando
) ou
(quando
).
Passo 3
Aplique isso a
e a
: temos
e
. Logo a soma
é um número inteiro não negativo. Pelo enunciado sabemos que
Mas a soma de dois inteiros não negativos só pode ser zero se cada um deles for zero. Mais formalmente: se um dos termos fosse positivo (ou seja, pelo menos
), a soma seria pelo menos
, o que contradiz
. Portanto necessariamente
Passo 4
Concluir a partir de
e
: como o único inteiro cujo quadrado é
é
próprio, segue que
Um exemplo rápido para fixar a intuição: se
e
então
; se
e
então também dá
. Só com ambos nulos a soma das quadrados dá zero.