Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:\n
- Calcular a integral indefinida
.\n - Informação do enunciado: integrando é o produto de um polinômio (
) por uma função trigonométrica .\n - O objetivo é obter uma antiderivada explícita (mais a constante de integração).
Passo 2
Estratégia e fórmula que vamos usar (aula rápida de técnica): integração por partes.\n
- A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se escolhermos duas funções
e com derivadas adequadas, vale
Aqui
é a derivada de
multiplicada por
, e
é uma primitiva de
.\n
- Dica prática (regra mnemônica): quando integrando aparece um produto de polinômio por função trigonométrica/exponencial/ log, costuma ser boa escolha tomar
o polinômio (porque sua derivada simplifica) e a outra parte.
Passo 3
Escolha das funções para aplicar integração por partes.\n
- Tome
. Então .\n - Tome
. Precisamos encontrar , ou seja, uma primitiva de .
Passo 4
Calcular
por substituição simples.\n
- Faça a substituição
. Então , logo .\n - Assim
- Portanto podemos tomar
(omitindo a constante quando usamos em partes).
Passo 5
Aplicar a fórmula da integração por partes.\n
- Usando
com , e , obtemos:
- Simplificando sinais:
Passo 6
Calcular a integral restante
.\n
- Novamente use substituição
, . Então
- Substituindo na expressão do passo anterior:
Passo 7
Simplificar o resultado final e fazer uma checagem rápida (verificação):\n
- Simplificando:
- Verificação por derivação (checar que derivada da antiderivada dá o integrando): calcular
Calcule termo a termo:
Somando:
que é exatamente o integrando. Verificação satisfeita.