\int x \operatorname{sen} \frac{x}{2} d x

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:\n
  • Calcular a integral indefinida \displaystyle \int x\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx.\n
  • Informação do enunciado: integrando é o produto de um polinômio ( x) por uma função trigonométrica \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right).\n
  • O objetivo é obter uma antiderivada explícita (mais a constante de integração).

Passo 2

Estratégia e fórmula que vamos usar (aula rápida de técnica): integração por partes.\n
  • A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se escolhermos duas funções u(x) e v(x) com derivadas adequadas, vale
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui du é a derivada de u multiplicada por dx, e v é uma primitiva de dv.\n
  • Dica prática (regra mnemônica): quando integrando aparece um produto de polinômio por função trigonométrica/exponencial/ log, costuma ser boa escolha tomar u o polinômio (porque sua derivada simplifica) e dv a outra parte.

Passo 3

Escolha das funções para aplicar integração por partes.\n
  • Tome u = x. Então du = dx.\n
  • Tome dv = \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\,dx. Precisamos encontrar v, ou seja, uma primitiva de dv.

Passo 4

Calcular v=\displaystyle \int \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx por substituição simples.\n
  • Faça a substituição t=\dfrac{x}{2}. Então dt=\dfrac{1}{2}dx, logo dx=2\,dt.\n
  • Assim
\int \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = \int \sin(t)\cdot 2\,dt = 2\int \sin(t)\,dt = 2(-\cos t) + C = -2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.
  • Portanto podemos tomar v = -2\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) (omitindo a constante quando usamos em partes).

Passo 5

Aplicar a fórmula da integração por partes.\n
  • Usando \int u\,dv = u v - \int v\,du com u=x, v=-2\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) e du=dx, obtemos:
\int x\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = x\cdot\biggl(-2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\biggr) - \int \biggl(-2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\biggr)\,dx.
  • Simplificando sinais:
\int x\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = -2x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + 2\int \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx.

Passo 6

Calcular a integral restante \displaystyle \int \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\,dx.\n
  • Novamente use substituição t=\dfrac{x}{2}, dx=2\,dt. Então
\int \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = \int \cos(t)\cdot 2\,dt = 2\sin t + C = 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.
  • Substituindo na expressão do passo anterior:
\int x\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = -2x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + 2\cdot\biggl(2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\biggr) + C.

Passo 7

Simplificar o resultado final e fazer uma checagem rápida (verificação):\n
  • Simplificando:
\int x\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = -2x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + 4\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.
  • Verificação por derivação (checar que derivada da antiderivada dá o integrando): calcular
\frac{d}{dx}\Bigl(-2x\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right) + 4\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\Bigr).
Calcule termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(-2x\cos\!\tfrac{x}{2}\bigr) = -2\cos\!\tfrac{x}{2} -2x\cdot\bigl(-\sin\!\tfrac{x}{2}\bigr)\cdot\frac{1}{2} = -2\cos\!\tfrac{x}{2} + x\sin\!\tfrac{x}{2},
\frac{d}{dx}\bigl(4\sin\!\tfrac{x}{2}\bigr) = 4\cos\!\tfrac{x}{2}\cdot\frac{1}{2} = 2\cos\!\tfrac{x}{2}.
Somando:
(-2\cos\!\tfrac{x}{2} + x\sin\!\tfrac{x}{2}) + 2\cos\!\tfrac{x}{2} = x\sin\!\tfrac{x}{2},
que é exatamente o integrando. Verificação satisfeita.

Resposta

-2x\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) + 4\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right) + C

Exercícios relacionados