1. \int \operatorname{tanh} x d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .(\operatorname{resp} . \log (\operatorname{cosh} x)+C)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{tanh} x \,dx
O conteúdo aqui é integração de funções hiperbólicas. Vamos usar a definição \operatorname{tanh} x = \dfrac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x} e uma substituição simples.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando funções hiperbólicas básicas:
\operatorname{tanh} x = \frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x}
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\int \operatorname{tanh} x \,dx = \int \frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x} \,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \operatorname{cosh} x, \quad du = \operatorname{sinh} x\,dx.
Com isso a integral vira
\int \frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \frac{1}{u}\,du = \log|u| + C.
Como \operatorname{cosh} x>0 para todo x, podemos tirar a barra de valor absoluto e voltar à variável original:
\log(\operatorname{cosh} x) + C.

Resposta

\log(\operatorname{cosh} x) + C

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