1. \int \frac{1+\operatorname{sinh} x}{1+\operatorname{cosh} x} d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .. (resp. \left.\quad \operatorname{tanh} (x / 2)-\log (-1+\operatorname{tanh} (x / 2))-\log (1+\operatorname{tanh} (x / 2))+C\right)

Passo 1

O enunciado pede a primitiva \displaystyle \int \frac{1+\operatorname{sinh} x}{1+\operatorname{cosh} x}\,dx.
O conteúdo é integração de funções hiperbólicas e vamos usar a substituição de meio-ângulo \;t = \operatorname{tanh}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Sabemos as relações
\operatorname{sinh} x = \frac{2t}{1-t^2}
\operatorname{cosh} x = \frac{1+t^2}{1-t^2}
dx = \frac{2\,dt}{1-t^2}

Passo 2

Substituindo nas expressões,
1 + \operatorname{sinh} x = \frac{1 - t^2 + 2t}{1-t^2} = \frac{(1+t)^2}{1-t^2}
1 + \operatorname{cosh} x = \frac{1 - t^2 + 1 + t^2}{1-t^2} = \frac{2}{1-t^2}
Logo a razão fica
\frac{1+\operatorname{sinh} x}{1+\operatorname{cosh} x} = \frac{\frac{(1+t)^2}{1-t^2}}{\frac{2}{1-t^2}} = \frac{(1+t)^2}{2}.

Passo 3

Como
dx = \frac{2\,dt}{1-t^2},
temos
\frac{1+\operatorname{sinh} x}{1+\operatorname{cosh} x}\,dx = \frac{(1+t)^2}{2}\,\frac{2\,dt}{1-t^2} = \frac{(1+t)^2}{1-t^2}\,dt = \frac{1+t}{1-t}\,dt.
Portanto
\int \frac{1+\operatorname{sinh} x}{1+\operatorname{cosh} x}\,dx = \int \frac{1+t}{1-t}\,dt.

Passo 4

Fazendo a decomposição
\frac{1+t}{1-t} = -1 + \frac{2}{1-t},
segue
\int \frac{1+t}{1-t}\,dt = \int (-1)\,dt \;+\; 2\int \frac{dt}{1-t} = -t -2\ln\bigl|1-t\bigr| + C.

Passo 5

Voltando a t=\operatorname{tanh}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr), obtemos
\int \frac{1+\operatorname{sinh} x}{1+\operatorname{cosh} x}\,dx = -\operatorname{tanh}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) -2\ln\Bigl|1-\operatorname{tanh}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr| + C.

Resposta

-\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) -2\ln\!\Bigl(1-\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr) + C.

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