1. \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi / 3} \int_{\operatorname{sec} \varphi}^{2} 3 \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \varphi d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/3}\int_{\rho=\operatorname{sec}\varphi}^{2}3\,\rho^{2}\,\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Aqui estamos em coordenadas esféricas, com elemento de volume dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Nosso plano de ataque será:
  1. Integrar em \rho.
  2. Integrar em \varphi.
  3. Por fim, integrar em \theta.

Passo 2

Primeiro, fixamos \varphi e \theta e integramos em \rho:
\int_{\rho=\operatorname{sec}\varphi}^{2}3\,\rho^{2}\,d\rho =\bigl[\rho^{3}\bigr]_{\operatorname{sec}\varphi}^{2} =2^{3} - (\operatorname{sec}\varphi)^{3} =8 - \operatorname{sec}^{3}\varphi.
Logo a integral tripla vira
\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi/3}\bigl(8 - \operatorname{sec}^{3}\varphi\bigr)\,\sin\varphi\;d\varphi.

Passo 3

Como o integrando não depende de \theta, fazemos imediatamente
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,
ficando
2\pi \int_{0}^{\pi/3}\bigl(8 - \operatorname{sec}^{3}\varphi\bigr)\sin\varphi\;d\varphi =2\pi\Bigl[\underbrace{\int_{0}^{\pi/3}8\sin\varphi\,d\varphi}_{I_{1}} \;-\;\underbrace{\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{sec}^{3}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi}_{I_{2}}\Bigr].

Passo 4

Calculamos I_{1} e I_{2} separadamente: I_{1}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/3}8\sin\varphi\,d\varphi =8\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/3} =8\bigl(-\tfrac12 +1\bigr) =4. Para I_{2}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{sec}^{3}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi, fazemos a substituição u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi. Então
I_{2} =-\int_{u=1}^{u=\tfrac12}u^{-3}\,du =-\Bigl[\tfrac{u^{-2}}{-2}\Bigr]_{1}^{1/2} =\tfrac12\bigl(u^{-2}\bigr)\Big|_{1}^{1/2} =\tfrac12\bigl(4-1\bigr) =\tfrac32.
Portanto
\int_{0}^{\pi/3}\bigl(8 - \operatorname{sec}^{3}\varphi\bigr)\sin\varphi\,d\varphi =I_{1}-I_{2} =4-\tfrac32 =\tfrac52.

Passo 5

Multiplicando por 2\pi (vindo da integração em \theta), obtemos o valor final da integral:
2\pi\cdot\tfrac52 = 5\pi.

Resposta

O valor da integral é 5\pi.

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