1. \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \operatorname{sen} \varphi} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \varphi d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral triplo
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\sin\varphi}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Este é um exercício de integração em coordenadas esféricas. A ideia é integrar primeiro em \rho, depois em \theta (que é trivial) e, por fim, em \varphi.

Passo 2

Integramos em \rho mantendo \varphi e \theta fixos:
\int_{0}^{2\sin\varphi}\rho^{2}\,d\rho =\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{2\sin\varphi} =\frac{(2\sin\varphi)^{3}}{3} =\frac{8}{3}\,\sin^{3}\varphi.
Então o integral vira
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{8}{3}\,\sin^{3}\varphi\;\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Como o integrando não depende de \theta, separamos as integrais:
\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\varphi\,d\varphi.

Passo 4

Calculamos o integral em \theta:
\int_{0}^{\pi}d\theta=\pi.
Logo resta
\frac{8}{3}\,\pi \int_{0}^{\pi}\sin^{4}\varphi\,d\varphi.

Passo 5

Agora usamos a identidade ou o resultado conhecido
\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\varphi\,d\varphi=\frac{3\pi}{8}.

Passo 6

Substituindo, obtemos
\frac{8}{3}\,\pi\;\times\frac{3\pi}{8} =\pi^{2}.

Resposta

\pi^{2}

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