1. \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{(1-\cos \varphi) / 2} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \varphi d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume dado pela integral em coordenadas esféricas
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\frac{1-\cos\varphi}{2}}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
O conteúdo aqui é integração iterada: primeiro em \rho, depois em \varphi e finalmente em \theta.

Passo 2

Integramos em \rho, usando
\int_{0}^{A}\rho^{2}\,d\rho = \frac{A^{3}}{3}.
Aqui A = \frac{1-\cos\varphi}{2}, logo
\int_{0}^{\frac{1-\cos\varphi}{2}}\rho^{2}\,d\rho = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{1-\cos\varphi}{2}\Bigr)^{3} = \frac{(1-\cos\varphi)^{3}}{24}.

Passo 3

A integral fica
\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\;\frac{(1-\cos\varphi)^{3}}{24}\,d\varphi = \frac{2\pi}{24}\int_{0}^{\pi}(1-\cos\varphi)^{3}\sin\varphi\,d\varphi = \frac{\pi}{12}\int_{0}^{\pi}(1-\cos\varphi)^{3}\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 4

Para a integral em \varphi, fazemos a substituição u = 1-\cos\varphi, de modo que du = \sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0, u=0; quando \varphi=\pi, u=2. Assim,
\int_{0}^{\pi}(1-\cos\varphi)^{3}\sin\varphi\,d\varphi = \int_{0}^{2}u^{3}\,du = \frac{2^{4}}{4} =4.

Passo 5

Substituindo de volta,
\frac{\pi}{12}\times 4 = \frac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}

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