Em cada um dos Problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
3. -x^{\prime}+(\tan t) y=\operatorname{sen} t, \quad y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
-y'(t) + (\tan t)\,y(t) = \sin t,\quad y(\pi)=0,
e pede um intervalo em que certamente exista solução sem resolvê-lo.
O conteúdo aqui é o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, que exige escrever a EDO na forma
y'(t) = f(t,y),
e verificar continuidade de f (e de \partial f/\partial y) numa região que contenha o ponto inicial.

Passo 2

Passamos a equação para a forma padrão y' = f(t,y). Da equação
-y' + (\tan t)\,y = \sin t
vem
y' = (\tan t)\,y - \sin t,
logo podemos definir
f(t,y) = (\tan t)\,y - \sin t.

Passo 3

Para aplicar o teorema de existência, precisamos que f(t,y) e \partial f/\partial y sejam contínuas numa região que contenha (t,y)=(\pi,0).
Aqui
\frac{\partial f}{\partial y}(t,y) = \tan t,
então ambas funções têm descontinuidade sempre que \tan t não está definido, isto é, para
t = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

O ponto inicial é t=\pi. As descontinuidades de \tan t mais próximas de \pi ocorrem em
t = \frac{\pi}{2} \quad\text{e}\quad t = \frac{3\pi}{2}.
Logo, basta escolher um intervalo aberto em t que contenha \pi e não inclua esses pontos.

Resposta

Um intervalo em que a solução certamente existe é, por exemplo,
\bigl(\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{3\pi}{2}\bigr).

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