Questão 1) (2,0 pontos) Considere o sistema metanol(1)/etanol(2) a, 50^{\circ} \mathrm{C}. J, J //
\ln P_{1}^{s a t}[k P a]=16,5785-\frac{3638,27}{239,5+T\left[^{\circ} C\right]} \quad \ln P_{2}^{s a t}[k P a]=16,8958-\frac{3795,17}{230,918+T\left[{ }^{\circ} C\right]}
Data: 27 / 31 / 27
Nota:
a) Determine as frações da fase vapor (y1 e y 2 ), sendo a fração de metanol na fase líquida igual a 0,4 .
b) Caso a pressão total fosse 60 kPa , haveria equilíbrio de fases? Quais as frações?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que se pede e o que foi dado):
  • Temperatura fixa: T=50^\circ\mathrm{C}.
  • Fração molar do metanol na fase líquida: x_1=0,4. Logo x_2=0,6.
  • Equações fornecidas (para P^{sat} em \mathrm{kPa}, natural log):
\ln P_{1}^{sat}[\mathrm{kPa}] = 16,5785 - \frac{3638,27}{239,5 + T[^\circ\mathrm{C}]},
\ln P_{2}^{sat}[\mathrm{kPa}] = 16,8958 - \frac{3795,17}{230,918 + T[^\circ\mathrm{C}]}.
  • Pedidos:
    (a) Determinar as frações molares na fase vapor \,y_1 e y_2 (metanol = componente 1), assumindo equilíbrio vapor-líquido à T=50^\circ\mathrm{C} e x_1=0,4.
    (b) Se a pressão total do sistema fosse 60\\ \mathrm{kPa}, haveria equilíbrio de fases? Em caso afirmativo, quais seriam as frações (ou caso contrário, qual a situação)?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
  • Raoult (solução ideal) e equilíbrio vapor–líquido: para cada componente i,
p_i = x_i\,P_i^{sat}(T),
onde p_i é a pressão parcial do componente i sobre a solução líquida, x_i é a fração molar líquida e P_i^{sat}(T) é a pressão de vapor saturante do componente puro à temperatura T.
  • Pressão total no equilíbrio (ponto de bolha para a composição líquida dada):
P_{tot} = \sum_i p_i = \sum_i x_i\,P_i^{sat}(T).
Esse P_{tot} calculado é o chamado pressão de bolha \,P_{bubble} para a composição líquida dada. Se a pressão externa for igual a P_{bubble}, existe equilíbrio líquido+vapor àquela T. Se a pressão externa for maior do que P_{bubble}, o sistema permanecerá na fase líquida (não há vapor); se a pressão externa for menor que P_{bubble}, o líquido tende a vaporizar (aparecem bolhas).
  • Frações molares na fase vapor no equilíbrio (Lei dos gases ideais / definição de fração molar no vapor):
y_i = \frac{p_i}{P_{tot}}.
  • Então o plano: (1) calcular P_1^{sat} e P_2^{sat} substituindo T=50^\circ\mathrm{C} nas equações dadas; (2) calcular p_1 e p_2 por Raoult; (3) obter P_{tot} e y_i; (4) comparar P_{bubble} com 60\\ \mathrm{kPa} para a parte (b).

Passo 3

Calcular P_1^{sat} e P_2^{sat} à T=50^\circ\mathrm{C} usando as equações fornecidas.
  • Para o metanol (componente 1):
\ln P_{1}^{sat} = 16,5785 - \frac{3638,27}{239,5 + 50} = 16,5785 - \frac{3638,27}{289,5}.
Calcular a divisão:
\frac{3638,27}{289,5}\approx 12,569,
portanto
\ln P_{1}^{sat}\approx 16,5785 - 12,569 = 4,0095.
Logo
P_{1}^{sat} = e^{4,0095}\approx 55,12\\ \mathrm{kPa}.
  • Para o etanol (componente 2):
\ln P_{2}^{sat} = 16,8958 - \frac{3795,17}{230,918 + 50} = 16,8958 - \frac{3795,17}{280,918}.
Calcular a divisão:
\frac{3795,17}{280,918}\approx 13,5105,
portanto
\ln P_{2}^{sat}\approx 16,8958 - 13,5105 = 3,3853.
Logo
P_{2}^{sat} = e^{3,3853}\approx 29,52\\ \mathrm{kPa}.
(Comentário rápido: as aproximações numéricas acima vêm de dividir e usar a exponencial; mantivemos 3 algarismos relevantes nas pressões.)

Passo 4

Aplicar Raoult para obter as pressões parciais e as frações na fase vapor (parte a).
  • Pressões parciais:
p_1 = x_1\,P_{1}^{sat} = 0,4\cdot 55,12 \approx 22,05\\ \mathrm{kPa},
p_2 = x_2\,P_{2}^{sat} = 0,6\cdot 29,52 \approx 17,71\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão total no equilíbrio (pressão de bolha para x_1=0,4):
P_{bubble} = p_1 + p_2 \approx 22,05 + 17,71 = 39,76\\ \mathrm{kPa}.
  • Frações molares no vapor:
y_1 = \frac{p_1}{P_{bubble}} \approx \frac{22,05}{39,76}\approx 0,555,
y_2 = \frac{p_2}{P_{bubble}} \approx \frac{17,71}{39,76}\approx 0,445.
Interpretação: à T=50^\circ\mathrm{C}, um líquido com x_1=0,4 coexiste com um vapor de composição y_1\approx 0,555, y_2\approx 0,445 quando a pressão do sistema é P_{bubble}\approx 39,76\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Analisar o caso (b): se a pressão total fosse 60\\ \mathrm{kPa}, haveria equilíbrio de fases?
  • Comparação: calculamos o \,P_{bubble}\approx 39,76\\ \mathrm{kPa} para x_1=0,4 à T=50^\circ\mathrm{C}.
  • Como 60\\ \mathrm{kPa} > P_{bubble}, a pressão imposta é maior que a pressão de vapor que a mistura “quer” exercer à 50^\circ\mathrm{C}. Isso significa que, à T=50^\circ\mathrm{C} e P=60\\ \mathrm{kPa}, o sistema estaria totalmente na fase líquida (o vapor, se existisse, condensaria). Não há equilíbrio líquido+vapor nessa condição de T e P — apenas fase líquida.
  • Portanto as “frações” relativas: fração de vapor =0 e fração de líquido =1 (na condição dada). Se se quisesse coexistência vapor–líquido a P=60\\ \mathrm{kPa}, seria necessário aumentar a temperatura até que a pressão de bolha da composição líquida atingisse 60\\ \mathrm{kPa} (ou alterar a composição).

Resposta

a) y_1\approx 0,555, y_2\approx 0,445
b) Não. Para T=50^\circ\mathrm{C} e x_1=0,4 a pressão de bolha é P_{bubble}\approx 39,76\\ \mathrm{kPa}; como 60\\ \mathrm{kPa}>P_{bubble}, haverá somente fase líquida (fração vapor =0, fração líquida =1).

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