\int \sqrt{x^{3}+x^{4}} d x. Sugestão: Use que x^{3}+x^{4}=x^{4}(1+1 / x) e faça uma substituição conveniente.

Passo 1

O enunciado pede
\int \sqrt{x^3 + x^4}\,dx
O conteúdo é integração de funções envolvendo radicais. Vamos usar a fatoração
x^3 + x^4 = x^3(1+x)
para reescrever o integrando de forma mais simples.

Passo 2

Como
\sqrt{x^3 + x^4} = \sqrt{x^3(1+x)} = x^{3/2}\sqrt{1+x},
temos
\int \sqrt{x^3 + x^4}\,dx = \int x^{3/2}\,\sqrt{1+x}\,dx.
Para eliminar a potência fracionária em x, fazemos a substituição
t = \sqrt{x}, \quad x = t^2, \quad dx = 2t\,dt.
Então
x^{3/2} = (t^2)^{3/2} = t^3, \quad \sqrt{1+x} = \sqrt{1 + t^2},
e o integral vira
\int x^{3/2}\sqrt{1+x}\,dx = \int t^3\,\sqrt{1+t^2}\,(2t\,dt) = 2\int t^4\sqrt{1+t^2}\,dt.

Passo 3

Para I = 2\int t^4\sqrt{1+t^2}\,dt, use integração por partes. Separe
u = t^3, \quad dv = 2t\sqrt{1+t^2}\,dt.
Então
du = 3t^2\,dt, \quad v = \int 2t\sqrt{1+t^2}\,dt.
Para encontrar v, note que
\frac{d}{dt}\bigl((1+t^2)^{3/2}\bigr) = \tfrac32\,(1+t^2)^{1/2}\cdot2t = 3t\sqrt{1+t^2},
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\int 2t\sqrt{1+t^2}\,dt = \frac{2}{3}\,(1+t^2)^{3/2}.
Assim
v = \tfrac23\,(1+t^2)^{3/2}.
A parte por partes dá:
I = 2\int t^4\sqrt{1+t^2}\,dt = u\,v - \int v\,du = t^3\Bigl(\tfrac23(1+t^2)^{3/2}\Bigr) - \int \tfrac23(1+t^2)^{3/2}\,(3t^2\,dt).
Isto é
I = \tfrac{2}{3}\,t^3(1+t^2)^{3/2} - 2\int t^2(1+t^2)^{3/2}\,dt.

Passo 4

No integral \displaystyle\int t^2(1+t^2)^{3/2}\,dt use a identidade
t^2 = (1+t^2)-1,
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\int t^2(1+t^2)^{3/2}\,dt = \int (1+t^2)^{5/2}\,dt \;-\;\int(1+t^2)^{3/2}\,dt.
Cada um desses é um caso padrão de
\displaystyle\int(1+t^2)^{n+1/2}\,dt. Aplicando a fórmula de redução
\int(1+t^2)^{n+\tfrac12}\,dt = \frac{t}{2(n+1)}(1+t^2)^{n+\tfrac12} +\frac{2n-1}{2(n+1)}\int(1+t^2)^{n-\tfrac12}\,dt,
com n=2 para (1+t^2)^{5/2} e n=1 para (1+t^2)^{3/2}, chega‐se a
\int t^2(1+t^2)^{3/2}\,dt = \frac{t}{6}(1+t^2)^{5/2} +\frac12\int(1+t^2)^{3/2}\,dt \;-\;\int(1+t^2)^{3/2}\,dt = \frac{t}{6}(1+t^2)^{5/2} -\frac12\int(1+t^2)^{3/2}\,dt.
Substituindo isso de volta em I e combinando termos, obtém‐se
I = \tfrac{2}{3}t^3(1+t^2)^{3/2} -2\Bigl[ \frac{t}{6}(1+t^2)^{5/2} -\frac12\int(1+t^2)^{3/2}\,dt \Bigr] = \frac{2}{3}t^3(1+t^2)^{3/2} -\frac{t}{3}(1+t^2)^{5/2} +\int(1+t^2)^{3/2}\,dt.

Passo 5

Falta ainda
\displaystyle\int(1+t^2)^{3/2}\,dt, cuja antiderivada padrão é
\int(1+t^2)^{3/2}\,dt = \frac{t}{8}(2t^2+5)\sqrt{1+t^2} +\frac{3}{8}\ln\bigl(t+\sqrt{1+t^2}\bigr) + C.
Logo, coletando tudo e voltando a t=\sqrt{x}, temos
\int\sqrt{x^3+x^4}\,dx = \frac{\sqrt{x}}{3}(x-1)(1+x)^{3/2} - \frac{\sqrt{x}}{3}(1+x)^{5/2} + \frac{\sqrt{x}}{8}(2x+5)\sqrt{1+x} + \frac{3}{8}\ln\!\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\bigr) + C.
Agrupando os termos de \sqrt{x(1+x)} e simplificando coeficientes, chega‐se a

Resposta

\int \sqrt{x^3+x^4}\,dx = \frac{\sqrt{x(1+x)}\,(8x^2 + 6x +7)}{24} \;+\; \frac{3}{8}\,\ln\!\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\bigr) + C.

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