Use o conceito de integral definida para calcular os seguintes limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{2^{i / n}}{n+\frac{1}{i}}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{2^{i/n}}{n + \tfrac1i}.
O assunto é transformar essa soma numa soma de Riemann e, em seguida, reconhecer uma integral definida de uma função simples em [0,1].

Passo 2

Reescrevemos o termo geral isolando o fator 1/n:
\frac{2^{i/n}}{n + \tfrac1i} =\;2^{i/n}\,\frac{1}{n}\,\frac{1}{1 + \tfrac{1}{n\,i}}.
Logo a soma fica
\sum_{i=1}^{n}\frac{2^{i/n}}{n + \tfrac1i} =\sum_{i=1}^{n}2^{i/n}\,\frac{1}{n}\,\frac{1}{1 + \tfrac{1}{n\,i}}.

Passo 3

Para cada i, quando n\to\infty temos
\frac{1}{1 + \tfrac{1}{n\,i}}\;\longrightarrow\;1.
Assim, a soma comporta-se como
\sum_{i=1}^{n}2^{i/n}\,\frac{1}{n}
quando n é grande. Mas isso é exatamente a soma de Riemann da função f(x)=2^x em [0,1], com x_i=i/n e \Delta x=1/n. Portanto
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}2^{i/n}\,\frac{1}{n} =\int_{0}^{1}2^x\,dx.

Passo 4

Basta agora calcular a integral:
\int_{0}^{1}2^x\,dx =\left[\frac{2^x}{\ln2}\right]_{0}^{1} =\frac{2^1-2^0}{\ln2} =\frac{2-1}{\ln2} =\frac{1}{\ln2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\ln2}

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