Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{\ln 5} \frac{e^{x} \sqrt{e^{x}-1}}{e^{x}+3} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\ln 5} \frac{e^{x} \sqrt{e^{x}-1}}{e^{x}+3}\,dx.
O conteúdo aqui é escolher uma boa substituição para simplificar o radical e o quociente, transformando a integral numa integral racional em u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sqrt{e^{x}-1}.
Então u^{2} = e^{x}-1, logo
e^{x} = u^{2}+1.
Derivando ambos os lados, e^{x}\,dx = 2u\,du. Como e^{x}=u^{2}+1, temos
(u^{2}+1)\,dx = 2u\,du \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{2u}{u^{2}+1}\,du.

Passo 3

Quando x varia de 0 a \ln 5, temos
x=0\\ \Rightarrow\\ e^{0}=1\\ \Rightarrow\\ u=0, \quad x=\ln 5\\ \Rightarrow\\ e^{\ln 5}=5\\ \Rightarrow\\ u=\sqrt{5-1}=2.
Substituindo tudo na integral original:
e^{x}\sqrt{e^{x}-1}\,dx =(u^{2}+1)\,u\;\frac{2u}{u^{2}+1}\,du =2u^{2}\,du, \qquad e^{x}+3 = u^{2}+1+3 = u^{2}+4.
Logo
\int_{0}^{\ln 5} \frac{e^{x} \sqrt{e^{x}-1}}{e^{x}+3}\,dx = \int_{0}^{2} \frac{2u^{2}}{u^{2}+4}\,du.

Passo 4

Para integrar
2\int_{0}^{2}\frac{u^{2}}{u^{2}+4}\,du
escrevemos
\frac{u^{2}}{u^{2}+4} =1 - \frac{4}{u^{2}+4}.
Então
2\int_{0}^{2}\frac{u^{2}}{u^{2}+4}\,du =2\Biggl(\int_{0}^{2}1\,du \;-\;4\int_{0}^{2}\frac{1}{u^{2}+4}\,du\Biggr).

Passo 5

Calculando cada parte:
\int_{0}^{2}1\,du = 2, \qquad \int_{0}^{2}\frac{1}{u^{2}+4}\,du = \frac{1}{2}\bigl[\arctan\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr)\bigr]_{0}^{2} = \frac{1}{2}\Bigl(\arctan(1)-0\Bigr) = \frac{\pi}{8}.
Logo
2\Bigl(2 - 4\cdot\frac{\pi}{8}\Bigr) =2\Bigl(2 - \frac{\pi}{2}\Bigr) =4 - \pi.

Resposta

4 - \pi

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