\int \sqrt{x^{3}+1} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{x^{3}+1}\;x^{2}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição (u-substituição), pois vemos a composição de uma raiz quadrada de x^{3}+1 multiplicada por x^{2}\,dx.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{3} + 1,
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du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int \sqrt{x^{3}+1}\;x^{2}\,dx = \int \sqrt{u}\;\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos u^{\tfrac12}:
\frac{1}{3}\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{3}\cdot \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} = \frac{2}{9}\,u^{\tfrac32}.

Resposta

\int \sqrt{x^{3}+1}\;x^{2}\,dx = \frac{2}{9}\,\bigl(x^{3}+1\bigr)^{\tfrac32} + C.

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