Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=\frac{n^{3}}{n+1}

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \frac{n^{3}}{n+1}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é limite de sequência cujo termo é uma função racional de n. Para resolvê-lo precisamos comparar as potências de n no numerador e no denominador para ver o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Para estudar
\lim_{n\to\infty} \frac{n^{3}}{n+1}
dividimos numerador e denominador por n:
\frac{n^{3}}{n+1} = \frac{n^{3}/n}{(n+1)/n} = \frac{n^{2}}{1 + \tfrac1n} = n^{2}\,\frac{1}{1 + \tfrac1n}.
Quando n\to\infty temos \tfrac1n\to0, logo
\frac{1}{1 + \tfrac1n}\;\longrightarrow\;1 \qquad\text{e}\qquad n^{2}\;\longrightarrow\;\infty.
Portanto o produto n^{2}\cdot\bigl(1/(1+1/n)\bigr) também tende a +\infty.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty, a sequência não converge para número finito; ela diverge para +\infty.

Resposta

A sequência diverge (vai para +\infty).

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