Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=e^{2 n /(n+2)}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a sequência
a_{n} = e^{\frac{2n}{n+2}}
verificando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar o limite. Vamos usar limites de sequências e a continuidade da função exponencial para resolver.

Passo 2

Definimos o expoente
b_{n} = \frac{2n}{n+2}.
Para encontrar \lim_{n\to\infty}b_{n}, dividimos numerador e denominador por n:
b_{n} = \frac{2}{1 + \tfrac{2}{n}}.
Como \lim_{n\to\infty}\tfrac{2}{n} = 0, segue
\lim_{n\to\infty}b_{n} = \frac{2}{1+0} = 2.

Passo 3

A função f(x)=e^x é contínua em todo \mathbb{R}. Logo, podemos trocar limite e exponencial:
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}e^{b_{n}} = e^{\lim_{n\to\infty}b_{n}} = e^{2}.
Isso mostra que a_{n} converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = e^{2}.

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