49- \int \frac{x^{2}+2 x+3}{(x+1)^{2}(x+2)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2} + 2x + 3}{(x+1)^{2}(x+2)}\,dx
O conteúdo principal aqui é integração de função racional, que vamos resolver por decomposição em frações parciais e depois integrar termo a termo usando fórmulas básicas:
\displaystyle \int \frac{dx}{x+a} = \ln\bigl|x+a\bigr| e \displaystyle \int \frac{dx}{(x+a)^{2}} = -\frac{1}{x+a}.

Passo 2

Vamos escrever
\frac{x^{2} + 2x + 3}{(x+1)^{2}(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^{2}} + \frac{C}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)^{2}(x+2), obtemos
x^{2} + 2x + 3 = A\,(x+1)(x+2) \;+\; B\,(x+2)\;+\; C\,(x+1)^{2}.
Expandindo e agrupando em potências de x, chegamos ao sistema
\begin{cases} 1 = A + C,\\\\ 2 = 3A + B + 2C,\\\\ 3 = 2A + 2B + C. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema
a partir de C = 1 - A,
da segunda equação vem A + B = 0 logo B = -A,
e da terceira obtemos 3 = 1 - A logo A = -2.
Portanto
A = -2,\quad B = 2,\quad C = 3.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int \frac{x^{2} + 2x + 3}{(x+1)^{2}(x+2)}\,dx = \int \Bigl(\frac{-2}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^{2}} + \frac{3}{x+2}\Bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{-2}{x+1}\,dx = -2\,\ln\bigl|x+1\bigr|,
\int \frac{2}{(x+1)^{2}}\,dx = -\frac{2}{x+1},
\int \frac{3}{x+2}\,dx = 3\,\ln\bigl|x+2\bigr|.

Resposta

\int \frac{x^{2} + 2x + 3}{(x+1)^{2}(x+2)}\,dx = -2\,\ln\bigl|x+1\bigr| \;-\;\frac{2}{x+1} \;+\;3\,\ln\bigl|x+2\bigr| \;+\;C.

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