\int_{0}^{3 / 2} \int_{-\sqrt{9-4 y^{2}}}^{\sqrt{9-4 y^{2}}} y d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{3/2}\int_{-\sqrt{9-4y^{2}}}^{\sqrt{9-4y^{2}}}y\,dx\,dy,
que corresponde à soma de y sobre a região definida por x^{2}+4y^{2}\le9 com y\ge0. Vamos usar integração iterada e depois uma substituição para resolver a integral em y.

Passo 2

Primeiro integramos em x, tratando y como constante:
\int_{-\sqrt{9-4y^{2}}}^{\sqrt{9-4y^{2}}}y\,dx =y\int_{-\sqrt{9-4y^{2}}}^{\sqrt{9-4y^{2}}}dx =2y\sqrt{9-4y^{2}}.
Assim a integral dupla vira
\int_{0}^{3/2}2y\sqrt{9-4y^{2}}\,dy.

Passo 3

Para calcular
2\int_{0}^{3/2}y\sqrt{9-4y^{2}}\,dy
fazemos a substituição
u=9-4y^{2}, \quad du=-8y\,dy, \quad y\,dy=-\frac{du}{8}.
Quando y=0, u=9; quando y=\tfrac32, u=0. Logo
2\int_{0}^{3/2}y\sqrt{9-4y^{2}}\,dy =2\int_{9}^{0}\sqrt{u}\,\Bigl(-\frac{du}{8}\Bigr) =\frac{1}{4}\int_{0}^{9}u^{1/2}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\frac{1}{4}\int_{0}^{9}u^{1/2}\,du =\frac{1}{4}\left[\frac{u^{3/2}}{\tfrac32}\right]_{0}^{9} =\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot9^{3/2} =\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot27 =\frac{9}{2}.

Resposta

\tfrac{9}{2}

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