\int_{0}^{1} \int_{2 y}^{2} 4 \cos \left(x^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{2y}^{2}4\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx\,dy.
O conteúdo principal é troca de ordem de integração em integrais duplas e, em seguida, uso de substituição para resolver a integral simples resultante.

Passo 2

Vamos descrever o domínio de integração
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;2y\le x\le2\}.
Para trocar a ordem, note que sobre D temos x variando de x=2y até x=2. Em vez disso, x vai de 0 até 2 e, para cada x fixo, y varia de 0 até x/2. Assim
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;0\le y\le x/2\}.

Passo 3

Trocando a ordem de integração, a integral fica
\int_{0}^{2}\int_{0}^{x/2}4\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dy\,dx.
Como o integrando não depende de y, integramos primeiro em y:
\int_{0}^{x/2}4\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dy =4\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,\Bigl[y\Bigr]_{0}^{x/2} =4\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\frac{x}{2} =2x\cos\bigl(x^{2}\bigr).
Logo a integral torna-se
\int_{0}^{2}2x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Para resolver
2\int_{0}^{2}x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
fazemos u=x^{2}, logo du=2x\,dx e x\,dx=du/2. Quando x=0, u=0; quando x=2, u=4. Temos
2\int_{0}^{2}x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx =2\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{4}\cos(u)\,du =\int_{0}^{4}\cos(u)\,du =\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{4} =\sin(4)-\sin(0) =\sin(4).

Resposta

\sin(4)

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